2020中考數學貼心輔導每日一題（28）
2019年廣州中考數學第23題
如圖，⊙O的直徑AB＝10，弦AC＝8，連接BC．
（1）尺規作圖：作弦CD，使CD＝BC（點D不與點B重合），連接AD；（保留作圖痕迹，不寫作法．）
（2）在（1）中所作的圖中，求四邊形ABCD的周長．
（1）圖略．
（2）分析
因為四邊形ABCD的邊AB，BC，CD都是已知的，所以求周長隻要先求AD．
第一步，添加輔助線，構造直角三角形．
如答圖，連接BD，過點C作CE⊥BD，E為垂足．
第二步，求BE．
在Rt△ABC中，依三角函數的意義，可求cos∠BAC＝AC∶AB＝4∶5＝0．8．
說明
因為如果不用圖片的格式，無法上傳分數，所以這裡的五分之四才用小數的形式出現．
∵∠CBD＝∠CDB＝∠BAC(等邊對等角，同弧所對的圓周角相等)，
在Rt△BCE中，可求BE＝BC·cos∠CBE＝6×0．8＝4．8．
評析
顯然，如果不用三角函數求BE，還可以利用△BCE∽△ABC．因為是直角三角形相似，所以推薦用三角形相似的“升級版”——三角函數．
第三步，求DA．
依“三線合一”得ED＝EB，∴BD＝2EB＝9．6．
∵AB是直徑，
∴∠BDA＝90º．
依勾股定理，得
DA＝2．8．
第四步，求周長．
∴四邊形ABCD的周長為24．8．
再強調一遍：三角函數的本質就是兩個直角三角形相似．本題中∠BEC是“人工”構造的直角，而∠ADB要利用圓周角定理證得是直角.
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