函數奇偶性概念的解讀與教學

高中數學大量的概念、定理、定律使很多學生望而卻步，對概念一知半解，不能深入理解的話會導緻解題思路混亂，抓不住解題要點。所以說數學概念是數學學科的靈魂與精髓，又是形成數學思想方法的出發點，教師想要讓學生輕松接受這一知識點，必須要把握好概念教學這一關。

函數的奇偶性是函數的重要性質之一，在奇偶性的學習過程中一定要重視對奇偶性的概念的理解。能從對稱的角度對函數的變化規律進行描述，從不同的角度對函數奇偶性進行理解，從而達到對函數奇偶性的靈活應用。教師在處理函數奇偶性的概念過程中，不能隻讓學生讀一遍奇偶函數的定義就行了，而是要深入剖析。

一、概念解讀

1.如果對于函數定義域内任意一個x，都有f（-x）=f（x），那麼函數f（x）就叫做偶函數。

2.如果對于函數f（x）定義域内任意一個x，都有f（-x）=-f（x），那麼函數f（x）就叫做奇函數。

如果函數f（x）是奇函數或偶函數，那麼我們就說函數f（x）具有奇偶性。

對函數奇偶性的定義理解有以下幾點：

（1）對于定義域内的任意x都滿足條件，所以奇偶性是整個定義域上的性質，要區别于單調性，判斷一個函數是奇函數還是偶函數的前提條件是看它定義域是否關于原點對稱。

（2）把等式f（-x）=f（x）翻譯成文字語言是當自變量互為相反數時函數值相等；f（-x）=-f（x）為當自變量互為相反數時函數值也互為相反數。

（3）奇函數的圖像關于原點對稱，反過來，如果函數的圖像關于原點對稱，則此函數為奇函數；偶函數的圖像關于y軸對稱，反過來，如果函數的圖像關于y軸對稱，則此函數為偶函數。

二、判定方法

1.利用奇偶函數的必要條件進行判别，即定義域是否關于原點對稱。

2.直接利用定義判别。

若f（x）的定義域關于原點對稱，則可驗證是否滿足f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x），從而判定是奇函數還是偶函數。若上述二者均不滿足則是非奇非偶函數。

3.借助函數的圖像判别。

例如：判斷函數f（x）= 的奇偶性。

解：函數的定義域為{-1，1}，函數的圖像表示兩個點，即（-1，0），（1，0），它的圖像既關于原點對稱，又關于y軸對稱。從而函數f（x）既是奇函數又是偶函數。通過練習，學生不僅掌握了概念的本質屬性，而且掌握了判斷其奇偶性的方法，提高了學生的思維能力和運算能力。

4.間接利用定義判别。

有時問題結構複雜，需要做變形才可明了，此時我們采用定義的變形來判别則方便得多。由奇偶函數的定義容易推出以下結論：在函數定義域關于原點對稱的前提下：若f（x） f（-x）=0或f（x）-f（-x）=2f（x），則f'（x）是奇函數；若f（x） f（-x）=2f（x）或f（x）-f（-x）=0則f（x）是偶函數。

例如：判斷函數f（x）=lg x的奇偶性

解：因為函數的定義域為R，關于原點對稱，且

f（x） f（-x）=lg x （-x）=lg1=0，所以f（x）為奇函數。

5.利用奇偶函數的性質及複合函數的奇偶性判别。

結論1.若F（x）=f（x） g（x），且定義域關于原點對稱，f（x），g（x）均為偶函數，則F（x）為偶函數；若f（x），g（x）均為奇函數，則F（x）為奇函數。

結論2.若u=g（x）為奇函數，y=f（u）對u來說是奇函數（或偶函數），則複合函數

y=f[g（x）]在定義域内為奇函數（或偶函數）。

例如：判别函數f（x）=x3（x2-1）的奇偶性。

解：因f1（x）=x2是偶函數，f2（x）=1是偶函數，所以是F（x）=x2-1偶函數。f3（x）=x3是奇函數，所以f（x）=f3（x）F（x）=x3（x2-1）是奇函數。

例如：判别函數f（x）=（x2-1）2的奇偶性。

解：令u=x2-1，f（u）=u2。因為u=x2-1為偶函數，f（u）=u2也為偶函數，所以f（x）=（x2-1）2為偶函數。

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