請看2道題：

1.抛一枚均勻硬币一次，正面朝上的概率是多少？

2.抛一枚均勻硬币兩次，兩次正面朝上的概率是多少？

對于第1題，很多同學可能馬上就把答案脫口而出：“½！”可是到了第2題，就被難住了。

第2題難在哪裡呢？

先看第1題的答案：“½”。它是怎麼來的呢？

抛一枚均勻硬币一次，有2種可能的結果，一是正面朝上，二是反面朝上，它們出現的可能性相同，所以分母是“2”；其中，“正面朝上”的結果有1種，所以分子是“1”。

也就是說，如果能夠列出所有等可能結果，我們就能把概率算出來。

問題來了，像第2題，一枚均勻硬币抛兩次，有幾種等可能結果呢？

有的同學反應很快：“我知道，兩次正面朝上、兩次反面朝上和一正一反朝上，有3種！”

這是不對的，因為這三種結果的可能性不同，一正一反朝上會比另外兩種情況更容易出現。

那怎麼辦呢？有兩件工具，一是樹狀圖，二是表格。

先說樹狀圖。

以第2題為例，我們可以通過三個步驟，畫出一個成功的樹狀圖：

第1步，寫标題。

由題目中的”抛一枚均勻硬币兩次”，可在第一行寫上三個标題：第1次、第2次和結果。

第2步，列可能。

因為第1次抛硬币時，等可能結果有2種，正面朝上和反面朝上，所以在“第1次”标題的下方，列出“正面”和“反面”。

如果第1次抛是正面朝上，那麼第2次抛硬币時，等可能結果還是2種，正面朝上和反面朝上，所以在“第2次”的下方，對着“第1次”下方的“正面”，列出“正面”和“反面”，并連線。

同樣的道理，在“第2次”的下方，對着“第1次”下方的“反面”，列出“正面”和“反面”，并連線。

第3步，寫結果。

在“結果”的下方，對着“第2次”的每一種可能，用坐标的形式寫出結果，比如，（正面，反面）表示第一次正面朝上，第二次反面朝上。

至此，樹狀圖就畫完了。從圖可看出，共有4種等可能結果，其中兩次正面朝上的結果有1種，所以概率為1/4，問題解決。

說完樹狀圖，再說說列表格。

還是以第2題為例，我們可以通過四個步驟，列出一個成功的表格：

第1步，畫表格。

表格由行和列組成，這道題需要幾行幾列呢？

第1次抛硬币時，等可能結果有2種，所以行數=2 1=3行；第2次抛硬币時，等可能結果有2種，所以列數=2 1=3列，也就是說，我們要畫一個3行3列的表格。

有同學可能要問，為什麼要加“1”呢？

很簡單，加的是标題啊！

第2步，寫标題。

找到表格的左上角的單元格，畫對角線，把它“劈”開兩半，在下面的一半中寫“第1次”，在上面的一半寫“第2次”。

第3步，列可能。

在“第1次”下方的格子中，寫上“正面”和“反面”；接着，在“第2次”右邊的格子中，也寫上“正面”和“反面”。

第4步，填結果。

在剩餘的單元格中，用坐标的形式寫出結果，比如，（正面，反面）表示第一次正面朝上，第二次反面朝上。

至此，表格就列完了。從表中同樣可以看出，共有4種等可能結果，其中兩次正面朝上的結果有1種，所以概率為1/4，問題解決。

有的同學可能要問：“我知道怎麼做了，但是不會寫過程，怎麼辦？”不用怕，這裡給你一個可套用的答題框架：

①說前提：∵每個結果都是等可能事件

②列結果：畫樹狀圖，或列表格

③求總結果數：共有m種等可能結果

④求事件結果數：事件A結果有n種

⑤求概率：P（A）=n/m

有的同學可能要問：“這道題我會做了，可是換一道題，我就不知道該不該用樹狀圖或表格，怎麼辦？”

注意看，第1題和第2題有一個區别，前者隻涉及1個因素，後者涉及“第1次”和“第2次”兩個因素。

當一個試驗涉及2個因素時，我們就可以利用樹狀圖或表格，不重複不遺漏地列出所有等可能的結果，從而更方便地求出某些事件發生的概率。

如果超過2個因素呢？列表格就幫不上忙了，樹狀圖還是可以勝任的。

很簡單，對嗎？來看看這道題：

一個袋子裡有2個紅球、1個藍球和1個黃球，它們除了顔色以外都相同，小明先從中随機摸出一個球，記下顔色後不放回，再從中随機摸出一個，請問小明摸到兩個紅球的概率是多少？

有的同學可能很快地畫了這樣的樹狀圖：

對嗎？不對，紅球的數量更多，摸到它與摸到藍球和黃球的可能性是不一樣的。

那怎麼辦？可以把2個紅球編号，記為紅1、紅2，這樣随機摸出一個球，結果就可能是紅1、紅2、藍或黃，它們是等可能的。

那就把樹狀圖改成這樣，可以了吧？

也不對。題目說到，小明第1次摸球出來後，是“不放回”的。既然是不放回，第1次如果摸到紅1，第2次是不可能再摸到紅1的，也就是說，同一種可能不會在“第2次”中再次出現。

正确的樹狀圖，應該是這樣的：

如果我選擇列表格，又該做出什麼樣的調整呢？

按照原本的思路，我們列的表格是這樣的：

可是，因為題目說了“不放回”，所以紅1和紅1不可能出現在同一個結果中；以此類推，同一種可能重複出現的結果都應該删掉。

正确的表格，是這樣的：

從表格可看出，共有12種等可能結果，摸到兩個紅球的結果有2種，所以概率為2/12，也就是1/6。

我是總結

1.列樹狀圖的步驟：

①寫标題：分清試驗的2個因素；

②列可能：列出每個因素的等可能結果；

③寫結果：用坐标形式。

2.列表格的步驟：

①畫表格：通過計算預估行數和列數；

②寫标題：左上角畫斜線；

③列可能：第1列和第1行；

④填結果：用坐标形式。

3.兩個注意事項：

①切記“等可能”是基本前提；

②如果是“不放回”，樹狀圖和表格要調整：

- 樹狀圖中，同一種可能不出現在“第2次”中；

- 表格中，同一種可能在同一個結果不重複。

4.一個答題框架：

①說前提：∵每個結果都是等可能事件；

②列結果：畫樹狀圖，或列表格；

③求總結果數：共有m種等可能結果；

④求事件結果數：事件A結果有n種；

⑤求概率：P（A）=n/m。

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