我想我可以有把握地說，沒有人真正理解量子力學。——理查德·費曼

當兩個粒子在彼此相互作用後，可以構成一種新的量子态，無論兩個粒子之間相隔多遠，隻要一個粒子發生變化，另一個粒子也随之發生變化，這種神秘的非定域性現象稱為量子糾纏。愛因斯坦将其比喻成“鬼魅般的超距作用”。

量子糾纏的定義

在希爾伯特空間中，子系統A、B的量子态分别為|ψ(A)〉、|ψ(B)〉，若複合系統量子态|ψ(AB)〉不能寫成|ψ(A)〉ⓧ|ψ(B)〉的張量積形式，則稱兩個子系統A、B相互糾纏。若|ψ(AB)〉=|ψ(A)〉ⓧ|ψ(B)〉，則A、B是相互關聯的。

例如，兩個粒子A和B，各有上(↑)、下(↓)兩種自旋量子态，表示為|ψ(A↑)〉、|ψ(A↓)〉和|ψ(B↑)〉 、|ψ(B↓)〉，簡化為A↑、A↓和B↑、B↓。因此，單粒子量子态可以組成4種雙粒子量子态：(A↑B↑)、(A↑B↓)、(A↓B↑)、(A↓B↓)。

當一個雙粒子疊加态可以寫成單粒子量子态的張量乘積時，就是關聯态，而非糾纏态，比如：|ψ(AB)〉 =A↓B↓ - A↓B↑ A↑B↓ - A↑B↑ = (A↓ A↑) *( B↓ - B↑)。

當雙粒子疊加态是如此的形式：

|ψ1〉=( A↓B↑ - A↑B↓)

|ψ2〉=( A↓B↑ A↑B↓)

理論計算表明疊加态無法分解成單粒子量子态的張量積形式。也就是說，兩粒子的物理狀态糾纏在一起，一個粒子的狀态決定了另一個的狀态。測量粒子A的瞬時，B沒有被測量，但卻同時坍縮到與A相反的狀态，即使A、B相距很遠。

其實波函數的概率論诠釋，表明了粒子遍布全空間，導出了不确定性原理，波函數疊加态的存在，也為量子糾纏埋下了伏筆。

量子糾纏的引出——EPR佯謬

量子糾纏是沒有經典類比的現象，從經典物理的邏輯難以理解。1935年, 愛因斯坦(Einstein)，波多爾斯基(Podolsky)和羅森(Rosen)三人對量子力學提出置疑：在對系統沒有幹擾的情況下，如果我們能确定地預言一個物理量的值，那麼這個物理量就必定是客觀實在，對應着一個物理實在元素。一個完備的物理理論應當包含所有的物理實在元素。對于兩個分開的并且沒有相互作用的系統，對其中的一個測量必定不能修改關于另一個的描述，也就是說自然界不存在超距的相互作用，這就是“定域實在論”。他們通過分析由兩個粒子組成的一維系統，指出雖然單粒子的坐标和動量算符不對易，但雙粒子的坐标算符 x1-x2和動量算符p1 p2對易。因此可以存在一個雙粒子疊加态，是算符 x1-x2和p1 p2的共同本征态。即：

(x1-x2)|ψ(AB)〉=a|ψ(AB)〉

(p1 p2)|ψ(AB)〉=0|ψ(AB)〉=0

對量子态|ψ(AB)〉而言，若測得粒子A的坐标為x，就可得到粒子B的坐标為x-a；同樣，若測得粒子A的動量為p，則粒子B的動量必為-p。但是當a值足夠大時，對粒子A的測量必然不會幹擾粒子B。按照EPR的觀點，這兩個粒子系統就可以有4個獨立的物理實在元素，而根據量子力學，x1和p1，x2和p2都不對易，這個系統隻能有2個物理實在元素，所以愛因斯坦得出結論：量子力學是不完備的。這就是所謂的EPR佯謬。

因此，量子糾纏嚴格意義上是由理論計算得出的現象，神秘到無法被預言。

量子糾纏的證明——貝爾不等式

貝爾不等式是一個有關是否存在完備局域隐變量理論的不等式：P(xz)-P(zy)|≤ 1 P(xy)，其中P(xy)的意義是粒子A在x方向上和粒子B在y方向上測到自旋方向相同的概率，x,y,z不一定需要構成三維空間的正交系。

量子相關性：局域隐變量預測實線，量子力學預測虛線

貝爾不等式可以用在糾纏于自旋的雙粒子系統，量子疊加态是：|ψ(AB)〉=( A↓B↑ - A↑B↓) ，根據量子力學，如果在夾角為φ的兩個不同方向對這個自旋單粒子對進行觀測，理論預言的相關性平均值将會是-cosφ。可以利用這個結論，進行簡單的代數運算，來檢驗量子力學的理論是否符合貝爾不等式。取位于同一個平面上依次成60°的角的三個方向。可得：

P(xz) = P(xy) = -cos(60°)= -1/2，

P(zy) = -cos(120°)= 1/2，

代入貝爾不等式左邊，則為：|-1/2-1/2|=1，貝爾不等式右邊為：1-1/2=1/2，左邊＞右邊。

因此，貝爾不等式不成立。

量子糾纏的神秘引人以無限遐想，但始終被禁锢在微觀世界，真的不可能存在宏觀量子糾纏嗎？在科學之路上，一個時代的信仰也會在下個時代成為謬誤，不可能也包含了可能兩個字。

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