俗話說得好：種瓜得瓜，種豆得豆，這也正是自然界的遺傳現象所在。然而生物的親子代之間在性狀上的相似性在數學學科裡卻不是普适的，如“周期函數加周期函數不一定是周期函數”這一命題就很好诠釋這一點。

假設f(x)是周期為T的周期函數，那麼f(x)的導函數

f′(x)=cosx πcos(πx)

也是周期為T的周期函數。此時有

cos0 πcos(π.0)=cosT πcos(π.T),

對比系數，隻能有：

cosT=1,cos(π.T)=1,

進而T=2k1π,π.T=2k2π,

其中k1,k2均為非零整數。此時有π=k2/k1為有理數，矛盾。因此f(x)不是周期函數。

假設f(x)是周期為T的周期函數，在f(m)=f(m T)中，分别令m=0,1,2，

可得：

sinT sin(πT)=0,

sin(T 1)−sin(πT)=sin1,

sin(T 2) sin(πT)=sin2,

将第一個式子分别與第二個式子相加，與第三個式子相減，可得：

sin(T 1) sinT=sin1,

sin(T 2)−sinT=sin2,

和差化積，可得：

則有：T=2k1π,或 T=π−1 2k1π；T=2k2π,或 T=−2 2k2π

其中k1,k2∈Z。這樣就得到了T=2kπ，k∈Z。代入sinT sin(πT)=0,

可得sin(2kπ2)=0，于是2kπ2=nπ

其中n∈Z．也即π=n/2k，與π是無理數矛盾，因此f(x)不是周期函數。

假設f(x)是周期為T的周期函數。對于f(x)的零點，令f(x)=0，

則可得:x=−π.x 2kπ,或 x=π π.x 2kπ

于是有：x=2kπ/(1 π),或 x=(2k 1)π/(1-π)

其中k∈Z,由于f(T)=f(0)=0

則有T=2nπ/(1 π)或T=(2n 1)π/(1-π)，其中n是∈Z。

不妨取x1=2π/(1 π)，x2=π/(1-π)

若T=2nπ/(1 π)，則x2 T=π/(1-π) 2nπ/(1 π),n≠0,

必然不在函數f(x)的零點構成的集合中；

同理：若T=(2n 1)π/(1-π)，則x1 T=2π/(1 π) (2n 1)π/(1-π),

也必然不在函數f(x)的零點構成的集合中。綜上所述：原命題得證。

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