譯者：劉鴻（lewis2012）審校：王玥亭（玥亭）

介紹

向量是具有大小和方向的實體。向量由分量組成。這些分量中的每一個表示沿着對應軸的位移。例如，表示為（2,3,1）的向量表示距離原點沿x軸兩個單位的位移; 沿y軸有三個單位的位移; 沿着z軸的一個單位的位移。

向量之間可以進行加減運算。向量可以相乘以或除以一個标量。然而，與實數乘法不同，向量不能在它們之間相乘，但是存在兩種特殊類型的向量乘法：向量點乘和向量叉乘。

在本節中，将學習計算機圖形學中最常用的向量操作。将學習如何加減向量，如何乘以除以标量，如何計算向量點積和叉積。

向量

向量由N個分量組成。分量的數量決定了向量的維度。三維向量包含定義沿着x，y和z軸的三個分量。在數學上，三維向量定義為：

形象地，具有沿着x軸4個單位位移和沿y軸3個單位位移的二維向量u表示如下：

加/減運算

加法運算

在向量相加法中，每個向量分量被單獨地添加到第二向量中對應分量。向量加法在數學上表示為：

例如，添加兩個三維向量如下：

形象地，向量加法表示如下：

減法運算

在向量減法中，向量的分量彼此相減。向量減法在數學上表示為：

例如，兩個三維向量相減如下表示：

标量乘法/除法運算

在幾何上，将向量與标量相乘來修改向量的長度。将向量除以标量具有相反的效果。要将向量乘以标量，隻需将每個分量乘以标量即可。注意，将向量乘以正标量僅影響其大小。然而，将向量乘以一個負标量，将會影響向量的大小也會反轉向量的方向。标量乘法在數學上表示為：

例如，将向量縮放3倍的過程如下：

形象地，向量标量乘法表示如下：

向量乘積

與實數不同，向量不具有單個乘法運算。他們有兩種不同類型的乘操作; 向量點積和向量叉積。向量點積産生标量，并且主要用于确定向量之間的角度。向量叉積産生垂直于被乘數和乘數向量的第三個向量。

向量點積

點積是計算兩個向量之間的角度的向量操作。點積以兩種不同的方式計算。

方式1：

在上面的等式中，關于向量之間的角度的信息丢失。然而，該方程的結果可以告訴我們每個向量的方向。例如，如果點積等于1，則意味着兩個向量具有相同的方向。如果點積是0，則意味着兩個向量彼此垂直。最後，如果點積是-1，則意味着兩個向量都朝向相反方向。

方法2：

如果我們有興趣尋找兩個向量之間的角度，可以使用下面的點積方程。

向量叉積

兩個向量産生一個平面。向量叉積運算産生垂直于兩個向量的向量。兩個向量的叉積計算如下：

重要的是要記住，向量叉積隻能用三維向量計算。如果向量存在于二維空間中，并且需要叉積，則向量必須轉換為三維向量。

向量的大小

向量大小表示矢量的長度。向量的長度計算如下：

例如，向量u的大小如下：

形象地，向量的大小是在下面的圖像中形成的三角形的斜邊：

單位向量

計算機圖形學中一個非常有用的概念是所謂的單位向量。單位向量是長度為一個單位的向量。将非單位向量轉換為單位向量的過程稱為歸一化。為了歸一化向量，每個分量除以向量的長度。數學上是這樣的：

向量u的歸一化如下：

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