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全等三角形判定的實際應用
1、如圖,公園裡有一條“Z字形道路ABCD,其中AB∥CD,在AB,BC,CD三段路旁各有一個小石凳E,M,F,且BE=CF,M在BC的中點.試判斷三個石凳E,M,F是否恰好在一條直線上?為什麼?
【答案與解析】三個小石凳在一條直線上證明:
∵AB平行CD(已知)
∴∠B=∠C(兩直線平行,内錯角相等)
∵M在BC的中點(已知)
∴BM=CM(中點定義)
在△BME和△CMF中
∴△BME≌△CMF(SAS)
∴∠EMB=∠FMC(全等三角形的對應角相等)
∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°(等式的性質)
∴E,M,F在同一直線上
【總結升華】對于實際應用問題,首先要能将它化成數學模型,再根據數學知識去解決. 由已知易證△BME≌△CMF,可得∠EMB=∠FMC,再由∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°得到E,M,F在同一直線上.
三角形的穩定性
2. 如圖是一種流行的衣帽架,它是用木條(四長四短)構成的幾個連續的菱形(四條邊都相等),每一個頂點處都有一個挂鈎(連在軸上),不僅美觀,而且使用,你知道它能收縮的原因和固定方法嗎?
【答案與解析】
解:這種衣帽架能收縮是利用四邊形的不穩定性,可以根據需要改變挂鈎間的距離。它的固定方法是:任選兩個不在同一木條上的頂點固定就行了。
【總結升華】要使物體具有穩定性,應做成三角形,否則做成四邊形、五邊形等等.
線段垂直平分線性質定理
3、(2015春•榮縣校級月考)如圖,△ABC中,∠BAC=135°,點P、Q在邊BC上,若MP和QN分别垂直平分AB和AC,并且AP=8,AQ=6,求BC的長.
【思路點撥】由MP和QN分别垂直平分AB和AC,根據線段垂直平分線的性質,可得PA=PB,QA=QC,繼而可得∠BAP ∠CAQ=∠B ∠C=180°﹣∠BAC=90°,再利用勾股定理計算出PQ的長,進而可求得答案.
【答案與解析】
解:∵MP和QN分别垂直平分AB和AC,
∴PA=PB,QA=QC,
∴∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C,
∵∠BAC=135°,
∴∠BAP ∠CAQ=∠B ∠C=180°﹣∠BAC=45°,
∴∠PAQ=∠BAC﹣(∠BAP ∠CAQ)=90°.
∵AP=8,AQ=6,
∴PQ=
=10,
∴BC=20.
【總結升華】此題考查了線段垂直平分線的性質以及等腰三角形的性質.關鍵是正确計算出∠PAQ的度數,掌握勾股定理.
角平分線的性質定理應用
4、如圖,P為△ABC的外角平分線上任一點.求證:PB+PC≥AB+AC.
【答案與解析】
證明:①當點P與點A不重合時,在BA延長線上取一點D,使AD=AC,連結PD.
∵P為△ABC的外角平分線上一點,∴∠1=∠2
∵在△PAD和△PAC中
∴△PAD≌△PAC(SAS),∴PD=PC
∵在△PBD中,PB+PD>BD,BD=AB+AD
∴PB+PC>AB+AC.
②當點P與點A重合時,PB+PC=AB+AC.
綜上,PB+PC≥AB+AC.
【總結升華】本題利用角平分線的性質,在角兩邊取相同的線段,通過(SAS)構造全等三角形,從而把分散的線段集中到同一個三角形中.
1.【變式】(2015春•龍崗區期末)小強為了測量一幢高樓高AB,在旗杆CD與樓之間選定一點P.測得旗杆頂C視線PC與地面夾角∠DPC=36°,測樓頂A視線PA與地面夾角∠APB=54°,量得P到樓底距離PB與旗杆高度相等,等于10米,量得旗杆與樓之間距離為DB=36米,小強計算出了樓高,樓高AB是多少米?
2.【變式】如圖,我們知道要使四邊形木架不變形,至少要釘一根木條.那麼要使五邊形木架不變形,至少要釘幾根木條?使七邊形木架不變形,至少要釘幾根木條?使n邊形木架不變形.又至少要釘多少根木條?
3.【變式】如圖所示,DE是線段AB的垂直平分線,下列結論一定成立的是( )
A.ED=CD B.∠DAC=∠B C.∠C>2∠B D.∠B ∠ADE=90°
4.【變式】如圖,DC∥AB,∠BAD和∠ADC的平分線相交于E,過E的直線分别交DC、AB于C、B兩點. 求證:AD=AB+DC.
1.【答案與解析】
解:∵∠CPD=36°,∠APB=54°,∠CDP=∠ABP=90°,
∴∠DCP=∠APB=54°,
在△CPD和△PAB中
∵
,
∴△CPD≌△PAB(ASA),
∴DP=AB,
∵DB=36,PB=10,
∴AB=36﹣10=26(m),
答:樓高AB是26米.
【總結升華】此題主要考查了全等三角形的應用,根據題意得出△CPD≌△PAB是解題關鍵.
2.【答案】要使五邊形木架不變形,至少要釘2根木條;使七邊形木架不變形,至少要釘4根木條;使n邊形木架不變形,至少要釘(n-3)根木條.
3.【答案】D.
4.【答案】
證明:在線段AD上取AF=AB,連接EF,
∵AE是∠BAD的角平分線,
∴∠1=∠2,
∵AF=AB AE=AE,∴△ABE≌△AFE,
∴∠B=∠AFE,
由CD∥AB又可得∠C+∠B=180°,
∴∠AFE+∠C=180°,
又∵∠DFE+∠AFE=180°,
∴∠C=∠DFE,
∵DE是∠ADC的平分線,
∴∠3=∠4,
又∵DE=DE,
∴△CDE≌△FDE,
∴DF=DC,
∵AD=DF+AF,
∴AD=AB+DC.
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