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全等三角形判定的實際應用

1、如圖，公園裡有一條“Z字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段路旁各有一個小石凳E，M，F，且BE＝CF，M在BC的中點.試判斷三個石凳E，M，F是否恰好在一條直線上？為什麼？

【答案與解析】三個小石凳在一條直線上證明：

∵AB平行CD（已知）

∴∠B＝∠C（兩直線平行，内錯角相等）

∵M在BC的中點（已知）

∴BM＝CM（中點定義）

在△BME和△CMF中

∴△BME≌△CMF（SAS）

∴∠EMB＝∠FMC（全等三角形的對應角相等）

∴∠EMF＝∠EMB＋∠BMF＝∠FMC＋∠BMF＝∠BMC＝180°（等式的性質）

∴E，M，F在同一直線上

【總結升華】對于實際應用問題，首先要能将它化成數學模型，再根據數學知識去解決. 由已知易證△BME≌△CMF，可得∠EMB＝∠FMC，再由∠EMF＝∠EMB＋∠BMF＝∠FMC＋∠BMF＝∠BMC＝180°得到E，M，F在同一直線上.

三角形的穩定性

2. 如圖是一種流行的衣帽架，它是用木條（四長四短）構成的幾個連續的菱形（四條邊都相等），每一個頂點處都有一個挂鈎（連在軸上），不僅美觀，而且使用，你知道它能收縮的原因和固定方法嗎？

【答案與解析】

解：這種衣帽架能收縮是利用四邊形的不穩定性，可以根據需要改變挂鈎間的距離。它的固定方法是：任選兩個不在同一木條上的頂點固定就行了。

【總結升華】要使物體具有穩定性，應做成三角形，否則做成四邊形、五邊形等等.

線段垂直平分線性質定理

3、（2015春•榮縣校級月考）如圖，△ABC中，∠BAC=135°，點P、Q在邊BC上，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，并且AP=8，AQ=6，求BC的長．

【思路點撥】由MP和QN分别垂直平分AB和AC，根據線段垂直平分線的性質，可得PA=PB，QA=QC，繼而可得∠BAP ∠CAQ=∠B ∠C=180°﹣∠BAC=90°，再利用勾股定理計算出PQ的長，進而可求得答案．

【答案與解析】

解：∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，

∴PA=PB，QA=QC，

∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，

∵∠BAC=135°，

∴∠BAP ∠CAQ=∠B ∠C=180°﹣∠BAC=45°，

∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP ∠CAQ）=90°．

∵AP=8，AQ=6，

∴PQ=

=10，

∴BC=20．

【總結升華】此題考查了線段垂直平分線的性質以及等腰三角形的性質．關鍵是正确計算出∠PAQ的度數，掌握勾股定理．

角平分線的性質定理應用

4、如圖，P為△ABC的外角平分線上任一點.求證：PB＋PC≥AB＋AC.

【答案與解析】

證明：①當點P與點A不重合時，在BA延長線上取一點D，使AD＝AC，連結PD.

∵P為△ABC的外角平分線上一點，∴∠1＝∠2

∵在△PAD和△PAC中

∴△PAD≌△PAC（SAS），∴PD＝PC

∵在△PBD中，PB＋PD＞BD，BD＝AB＋AD

∴PB＋PC＞AB＋AC.

②當點P與點A重合時，PB＋PC＝AB＋AC.

綜上，PB＋PC≥AB＋AC.

【總結升華】本題利用角平分線的性質，在角兩邊取相同的線段，通過（SAS）構造全等三角形，從而把分散的線段集中到同一個三角形中.

1.【變式】（2015春•龍崗區期末）小強為了測量一幢高樓高AB，在旗杆CD與樓之間選定一點P．測得旗杆頂C視線PC與地面夾角∠DPC=36°，測樓頂A視線PA與地面夾角∠APB=54°，量得P到樓底距離PB與旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆與樓之間距離為DB=36米，小強計算出了樓高，樓高AB是多少米？

2.【變式】如圖，我們知道要使四邊形木架不變形，至少要釘一根木條．那麼要使五邊形木架不變形，至少要釘幾根木條?使七邊形木架不變形，至少要釘幾根木條?使n邊形木架不變形．又至少要釘多少根木條?

3.【變式】如圖所示，DE是線段AB的垂直平分線，下列結論一定成立的是（ ）

A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B ∠ADE=90°

4.【變式】如圖，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的平分線相交于E，過E的直線分别交DC、AB于C、B兩點. 求證：AD＝AB＋DC.

1.【答案與解析】

解：∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，

∴∠DCP=∠APB=54°，

在△CPD和△PAB中

∵

，

∴△CPD≌△PAB（ASA），

∴DP=AB，

∵DB=36，PB=10，

∴AB=36﹣10=26（m），

答：樓高AB是26米．

【總結升華】此題主要考查了全等三角形的應用，根據題意得出△CPD≌△PAB是解題關鍵．

2.【答案】要使五邊形木架不變形，至少要釘2根木條；使七邊形木架不變形，至少要釘4根木條；使n邊形木架不變形，至少要釘(n-3)根木條．

3.【答案】D.

4.【答案】

證明：在線段AD上取AF＝AB，連接EF，

∵AE是∠BAD的角平分線，

∴∠1＝∠2，

∵AF＝AB AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，

∴∠B＝∠AFE，

由CD∥AB又可得∠C＋∠B＝180°，

∴∠AFE＋∠C＝180°，

又∵∠DFE＋∠AFE＝180°，

∴∠C＝∠DFE，

∵DE是∠ADC的平分線，

∴∠3＝∠4，

又∵DE＝DE，

∴△CDE≌△FDE，

∴DF＝DC，

∵AD＝DF＋AF，

∴AD＝AB＋DC．

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