被譽為樂器之王的鋼琴，是一種很嬌貴、敏感的樂器，在長期使用過程中，任何鋼琴都會出現機械故障。

定期的調律維護是必不可少的，鋼琴調律師以十二平均律理論為依據，對琴弦的張力和機件的運動進行調整，使所調鋼琴的琴音又準又穩。

十二平均律，是一種音樂定律方法， 簡而言之，就是把半根琴弦按照等比數列平均分成十二份。

12個數構成等比數列太過複雜，現在我們探讨三個數成等比數列的規律。在兩個非零數字a和b之間，插入一個數G，使得a，G，b成等比數列，那麼稱G是a與b的等比中項。

按照等比數列的定義，一定會有G比a，等于b比G。這個式子整理一下，能得到a乘以b，等于G平方，這個乘法式，也就是等比中項公式。

比如12，6，3這三個數，構成一個公比為二分之一的等比數列，那麼我們就說6是12和3的等比中項，而且它們一定滿足等比中項公式，也就是12乘以3，等于6的平方。

等比數列an中，任意相鄰三項an-1，an，an 1,都是成等比數列的，所以一定滿足等比中項公式，an-1乘以an 1，等于中間項an的平方。

在等比數列中，中項公式也可以由公比q直觀地表現出來， an 1，可以表示為an乘以q， an-1，可以表示為an除以q，這樣的話，an-1，與an 1相乘，會恰好等于an的平方，同樣的， an 2，可以表示為an乘以q平方， an-2，可以表示為an除以q平方。

那麼an-2乘以an 2，也會等于an的平方。以此類推，等比數列中，隻要下角标為正整數，由中項公式可以推廣得到，an的平方，等于an-1乘以an 1 ，同時也等于an-2乘以an 2，等等，等于到an-k乘以an k 。

例如等比數列an中，a4乘以a6等于2，求a2乘以a8. 我們用等比中項規律來解這個題，a4與a6的中間項是a5，所以滿足等比中項公式，a4乘以a6，等于a5平方，

同時，a2與a8，下标2和8的中間數也是5，所以也會滿足a2乘以a8，等于a5平方，所以也等于2.

學以緻用，用以促學。利用等比中項規律，來解決上面這種問題，會特别方便，大大減少計算量。通過上面這個實例，我們也能發現，等比中項規律的更通用的表現形式，a4乘以a6，等于a2乘以a8。

一般地，等比數列中，隻要下标是正整數，am乘以an，等于ap乘以aq，當且僅當，m n，等于p q。 這裡要注意，項是乘積相等，而下标是和相等。

這個更一般的等比中項規律，同樣也适用于四個數成等比數列的情形。如果四個數a，b，c，d成等比數列，那麼一定有ad等于bc成立。

等比中項規律，揭示的是等比數列中的對稱性，在具體表現形式上有多種形式，在解題應用時也要靈活挑選。

現在我們利用等比中項公式來求解問題。等比數列an中，a3等于1，a7等于2，求a5. 根據等比中項公式，a5平方等于a3乘以a7，等于1乘以2等于2，所以a5等于正負根号2.

解到這裡要注意，因為a5可以表示為a3乘以q平方，所以a5和a3同号。a3等于1為正數，所以a5隻能取正根号2. 等比數列中，所有奇數項一定是同号的。

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