本文分享一道有關三角函數的好題，并給出分析與解答。本文适合高中學曆的讀者。
引言最近遇上了一道稍有難度的競賽題，方法巧妙，需要一定的解題技巧，值得反複練習。這道題如下陳述：
本題看似隻是簡單求值問題，但涉及技巧頗高。有興趣的讀者可以先嘗試做一做，然後閱讀下面的分析以及解答過程。
分析本題需要一定的三角函數以及代數知識。經觀察不難發現，解答本題最大的困難在于處理三角函數值的立方根，這導緻和差化積、積化和差等三角恒等變形不再奏效。為了很好地處理立方根，我們自然聯想到一些很有用的立方公式，其中最有參考價值的是下面這個熟知的恒等式：
上面這個恒等式很好地将一些對稱多項式聯系在了一起。再考慮，三次根号内的三角函數值是否存在關聯？是否能夠求出以上恒等式中出現的立方和、平方和、乘積等對稱多項式的值？此時立即聯想到韋達定理，也就是說如果能夠構造一個多項式，使得根号内的三個三角函數值同時是這個多項式的根，那麼就能夠求出相關的一些對稱多項式的值，這就是解決本題的大緻思路。
解答考慮以下方程：
這個方程有以下6個複根：
根據根之間的關系不難看出，
也就是說這三個三角函數值都能寫成 x 1/x 的形式，我們令 y = x 1/x，有：
将上述方程兩邊同時除以 x³ 并把上述 y 的式子代入得：
這個方程的三個根剛好是：
至此，我們已經用多項式将我們需要的三個三角函數值聯系在了一起。不過，題目需要我們求的是它們的立方根的和，因此我們考慮下面的兩個恒等式：
其中第二個恒等式可以由第一個恒等式換元得到。我們令 X³，Y³，Z³ 是方程 y³ y² - 2y - 1 = 0的三個根，由韋達定理可得
這樣一來，上面兩個恒等式的左邊就确定了，但我們還需要 X Y Z 以及 XY YZ ZX，我們令 u = X Y Z，v = XY YZ ZX，并代入恒等式得：
我們将兩式左邊乘左邊，右邊乘右邊，并令 m = uv 得：
這個方程唯一的實根為：
進而我們可以求出 u :
那麼我們可以最終求出此題的答案：
本題的解答很巧妙使用了恒等式以及多項式的根之間的關系，把看似複雜的代數式轉化成比較好求的代數式。解答過程看似繁瑣，其實掌握了思路都在情理之中，适合反複練習。
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