“數學是思維的科學”，數學是訓練學生思維不可或缺的學科，是一門使人聰明的學問。當今功利化社會環境下，應試教育占據主導地位，注重考試分數、升學率等眼前利益，忽視理性精神、數學能力、核心素養和全面發展等長期利益，教育觀念相對落後，教學方法比較陳舊，導緻數學概念教學中出現諸多問題。比如，數學概念教學缺乏自然性，沒有鋪墊，沒有情境，直接搬出概念，強加于人，對提高學生數學學習興趣不利；缺乏問題意識，對創新精神、實踐能力的培養不利；不重視基本概念、核心數學思想方法的教學，缺少必需的歸納、抽象、概括活動，對提高學生數學素養不利；重結果輕過程，缺少一以貫之的邏輯思考和數學推理活動，損害數學思維過程的完整性，對提高學生數學思維能力不利；解題教學搞“題型 技巧”，學生機械重複、模仿記憶，缺乏獨立思考，教學思維發展遲緩，并導緻學生數學學業負擔過重；等等。這些都與“能力為鴦、素養優先、全面發展”的要求相違背，對“建設人力資源強國”的戰略目标不利，對創造性人才培養更不利，因此，我們的數學教育培養出來的是“考試”機器，而不是善于提出問題并能夠真正解決問題的人才。要改變這些現狀，必須從多方面入手，尤其是從數學課堂教學入手，關鍵在于數學概念教學。目前數學概念教學主要存在以下誤區：

一、抛開教材 嘩衆取寵

教材是連接課程方案與教學實踐的樞紐，是教師與學生學的載體。但是，在教學過程中，尤其在概念教學過程中，普遍存在流于表面，沒有吃透教材，未能領悟主編意圖，甚至個别教師出現脫離教材的現象。調研表明，出現脫離課本、抛開教材進行概念教學的原因主要有：

其一，不少教師認為教材内容“簡單”，不足以應付中考、高考和競賽，盲目地、一味地加大難度，苦了學生也傷了教師。比如，在初中學生剛剛進入高一不久，在教授函數基本概念時，許多教師不明白為何高中還要重新給函數下定義，不清楚高中函數定義與初中函數定義的區别在哪兒。不理解為何整個高中數學教材特别将“集合”這一最為基本的概念（語言）安排在必修1的最前面，更不理解為何在集合對應的基礎上引出函數概念。再如．在高一入學不久教授函數概念時，沒有把精力用在函數概念的構建上，沒有充分展示函數基本性質的由來，而是“深挖洞”，在值域上無休止加深。例如，剛剛學習完函數的定義就迫不及待地布置這樣的作業----“若函數y =lg(ax ² 2x 1)的值域為R，求實數a的取值範圍”，讓本來就對函數概念模糊的學生一頭霧水、束手無策。這對學生自信心的傷害猶如當頭一棒、雪上加霜，讓學生苦不堪言，學生對高中數學美好的願望、飽滿的熱情、豪邁的壯志蕩然無存，導緻剛剛進入高中的學生害怕乃至恐懼數學，從而喪失學習數學的信心，長此下去，學生不厭惡數學才怪！

其二，有的教師認為隻有教課本以外的東西才能顯示自己的水平，晔衆取寵，博取眼球，比如在教授“數學歸納法”這一概念時，抛開教科書提供的多米諾骨牌遊戲，而反複播放高速路上幾十輛高速行駛的轎車連環激烈碰撞而出現的血淋淋的恐怖場面，類似案例比比皆是。

其三，有些教師誤解新課改提倡的“不是教教材，而是用教材教”，要“創造性地使用教材”的真正意圖。有些教師沒有理解其中真正的含義，而自行随意處理教材，認為教材可有可無，甚至脫離教材，以至于把絕大部分教學時間用于課外輔導材料，這樣極大地削弱了教材本來應該具有的功能。“不是教教材，而是用教材教”的真正含義是在吃透教材、把握教材、洞察教材編寫意圖基礎上的創造性使用教材、重組教材。比如，不少教師為了學生考高分，人為地将空間向量與建立空間直角坐标系提前學習，甚至要求學生對所有的立體幾何問題一律建立空間直角坐标系，從而錯失培養學生空間想象能力、錯失優化邏輯論證能力的最佳時機。再如，很多教師将“計數原理”提前到“概率”之前學習，誤導學生将注意力從理解概率的本質含義轉移到如何計算概率上，本末倒置，誤人不淺。

其四，許多教師不善于或不願意花大力氣研究教材。比如，新課标教材采用單位圓定義三角函數，而摒棄早期地終邊定義法。不少教師根本不關注這一重要變化，我行我素，背離教材原意。再如，在教授任意角三角函數時，沒有研究高中任意角三角函數與初中所學地銳角三角函數之間的關系，武斷地認定任意角三角函數就是銳角三角函數的拓展與推廣。

二、過度情境 偏離數學

細心閱讀《普通高中數學課程标準（實驗）》會發現“情境”二字多達28次，并明确指出：“教師要創設适當的問題情景，鼓勵學生發現數學的規律和解決問題的途徑，使他們經曆知識的形成過程。”“應通過數學建模活動引導學生從實際情境中發現問題，并歸結為數學模型，嘗試用數學知識和方法去解決問題。”同時對教材的編寫也提出要求：“教材要注意創設情景，從具體實例出發，展現數學知識的發生、發展過程，使學生能夠從中發現問題、提出問題，經曆數學的發現和創造過程，了解知識的來龍去脈。”因此在新課程背景下，創設恰當的問題情景，有利于強化學生的觀察能力，激發學生的興趣，誘發學生的學習動機，激發學生的探究欲望，培養學生的問題意識，提升學生的創新能力，啟發學生的思維，激活學生的潛能，優化學生的品質，有利于改善教學方式、方法，提高教育教學質量。但是，創設問題情景不僅僅是為了引出一個話題，更應該隐含着一定的數學思想和數學本質，通過教師引導和學生思考，從問題情境中提煉出數學思想，抽象出數學知識，形成數學概念，總結數學方法，揭示數學本質。

數學高度抽象，決定數學概念教學時，教師必須引導學生經曆從具體實例（創設情境）抽象出數學概念的過程。盡管數學概念高度抽象，我們總是可以為其構建具體模型，幫助學生歸納和掌握抽象概念的性質及特點。比如，為了提煉正态分布概念而創設高爾頓模闆，有助于學生對抽象概念産生直觀、形象的感性認識，促進學生對概念的主動建構。因此在新概念形成的教學中，主張用建構主義學習觀來幫助學生學習數學概念，教師要根據學習者的經驗背景，準确把握學生現有的認知結構狀況，符合學生現有的認知結構水平，利用新概念與學生已有的認知結構差異來創設相應的問題情境，采取切實可行的教學策略，幫助學生展示概念的形成與發展過程，揭示數學概念的神秘面紗。一個好的問題情境引入往往使學生心靈産生共鳴和思維産生共振，使學生體會茅塞頓開，豁然開朗，妙不可言的感覺，使課堂充滿活力。

數學源于生活，因此對于數學概念教學，盡量創設必要的生活情境，有利于引入概念。生活情境引入，能夠讓學生感受到數學源自生活，應用于生活，感受到數學是對現實世界中的數量關系和空間形式的抽象化，形式化的刻畫，感受到數學是認識世界、改造世界的有力工具。概念教學需要也必須創設一定的情境，但是應該看到創設情境的初衷是為了提出數學問題，進而提煉數學概念。說到底，創設情境的目的在于體現數學概念。創設數學情境可以為數學從學術形态轉變為教育形态提供自然的通道，從數學的呈現方式轉變為數學的生成方式提供具體的環境，使學生的學習過程有機會成為在教師引導下的“再創造”過程。因此既不能為了情境而創設情境，也不能偏離數學本質，更不能僅僅停留在生活化情境之中，離開數學的情境是無效的，過于強化生活情景化也是毫無價值的。然而，在課堂教學中，存在忽視數學概念的抽象邏輯建構特征，過于強調情景化、生活化、活動化的傾向，這不利于研究概念和實施概念教學。

三、缺少剝離 難以提煉

由于數學是去掉具體事物的物理性質、化學性質後抽象結構或模式，而模式化的一個重要特征就是“去情境化，去時間化，去個性化”，這意味着與現實原型在一定程度的分離。最早從事研究“生活世界”的現象學大師胡塞爾(Husserl)認為“在這個世界中我們看不到幾何的理念存在，看不到幾何的空間、數學的實踐以及它們的一切形狀。”這段精彩的語言至少表明數學世界與生活世界還是有許多不同。比如，對于一條寬闊的高速公路，站在初中數學的視角，當我們着眼于距離時就能提煉出線段的概念；當我們着眼于筆直延伸時就能提煉出直線的概念；當我們着眼于自己所站立的位置為端點，瞭望遠方時就能提煉出射線的概念；當我們着眼于公路兩邊時就能提煉出平行線概念；當我們着眼于面積時就能提煉出矩形；當我們着眼于用料（體積）時就能提煉出長方體。

“剝離”就是“去情景化”，就是數學地“提煉”過程，在概念教學中，概念的數學化通常遵循以下四個步驟：感性認識階段、分化本質屬性階段、概年形成定義階段、應用強化階段。

總之，概念教學往往是在學生熟知的生活情境中引進概念，在形成概念的過程中，又經曆提煉的“去情景化”曆程，達到數學的思維方式。缺乏概念的直觀是空虛的，缺乏直觀的概念是晦澀的。沒有過程的結論是空洞而生硬的，沒有結論的過程是徒勞無效的，因此數學概念教學一定要将引進“情景化”與提煉“去情景化”相結合。

四，華而不實 追求轟動

數學是理性思維，側重冷靜思考，更多體現在内心活動之中。那種看似氛圍活躍的“運動式”“炒作式”課堂教學，是對新課标理念的一種誤解與歪曲，無益于課堂教學，更不可能深刻理解數學。尤其在一些優質課的評比中，似乎沒有熱鬧非凡的場面就不是一堂好課，于是各種盲目追求轟動效應的方式，方法達到極緻。可謂你方唱罷我登場，東一榔頭西一棒槌，整個課堂處于極度興奮之中。看似讨論熱烈，人人參與，實則毫無質量，沒有意義的所謂分組讨論，生生合作，嚴重破壞學生思維的連續性。更有甚者，一會兒組織同桌讨論，一會兒前後合作研究，一會兒小組相互商讨，一會兒全班鼓掌。課堂教學，尤其數學概念教學，重在質量，重在效果，重在思維，而不是一味地追求所謂的轟動氛圍。比如講授二分法概念時，幾乎所有教師千篇一律地借用中央電視台中的猜價格遊戲，全班學生你猜一個價格、我猜一個價格、他猜一個價格，看似熱鬧非凡，實則破壞學生本已進入沉思的環境，毫無實質意義。對此，羅增儒教授曾撰文進行了批判。

五、不懂曆史 誤人于弟

數學是一種文化，也是一部曆史，具有曆史積澱．追溯曆史源頭，沿着數學家的足迹，探索數學知識發生發展的軌迹，有利于學生了解知識發生發展的規律。

比如，自從古希臘數學家歐幾裡得(Euclid)的《幾何原本》問世以來，人們一直把代數限定在研究數及其關系的範疇内，把幾何限定在研究位置和圖形的範疇内。代數和幾何截然分家持續了幾千年，猶如兩座高山被萬丈深淵分割。

傳說法國數學家笛卡兒生病卧床，卻在反複思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數方程是比較抽象的，能不能把幾何圖形和代數方程結合起來，也就是說能不能用幾何圖形來表示方程呢？要想達到此目的，關鍵是如何把組成兒何圖形的點和滿足方程的每一組“數”挂上鈎。笛卡兒苦苦思索，拼命琢磨，通過什麼樣的方法，才能把“點”和“數”聯系起來？突然，他看見屋頂角上的一隻蜘蛛，拉着絲垂了下來，一會兒工夫，蜘蛛又順這絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的“表演”使笛卡兒豁然開朗，他想，可以把蜘蛛看作一個點。他在屋子裡可以上、下、左、右運動，能不能把蜘蛛的每一個位置用一組數确定下來呢？他又想，屋子裡相鄰的兩面牆與地面交出了三條線，如果把地面上的牆角作為起點，把牆面相交出來的三條線作為三根數軸，那麼空間中任意一點的位置就可以在這三根數軸上找到有順序的三個數。反過來，任意給一組三個有順序的數也可以在空間中找到一點P與之對應。同樣道理，用一組數(X,Y)以表示平面上的一個點，平面上的一個點也可以用一組有順序的數來表示，這就是坐标系的雛形。

也有傳說1619年夏天，法國數學家笛卡兒因病進了醫院，正當他躺在病床上苦苦思索着一個數學問題而不得其解時，忽然發現天花闆上有一隻蒼蠅從這個地方飛到另一地方，當時天花闆是用木條嵌成正方形的圖形。笛卡兒發現，要說出這隻蒼蠅在天花扳上的位置，隻需要說出蒼蠅所在正方形是在天花闆上的第幾行和第幾列。當蒼蠅落在第四行第五列的那個正方形時，他可以用(4，5)來表示這個位置……由此他聯想到可用這類似的辦法來描述一個點在平面上的位置，他高興地跳下床大叫：“我找到了，找到了！”然而不小心将被子上的國際象棋撒了一地，當他将目光落到棋盤上時，他又興奮地一拍大腿：“對，對，就是這個圖。”這個圖就是笛卡兒坐标系。利用它可以用一對有序實數對來描述平面内一個點的位置，因此可以通過研究圖形上任一點所能滿足的代數式來研究幾何圖形的性質，進而産生了一門新的學科---解析幾何。

其實，無論是上述“蜘蛛傳說”還是“蒼蠅傳說”，都不重要，重要的是通過教師向學生講述這些傳說來表達點可以用有序數對來表示，反過來，有序數對也可以表示點，這就是笛卡兒的解析幾何核心。了解這段數學史，讓學生明白笛卡兒的解析幾何核心就是把幾何學的問題歸結成代數形式的問題，用代數學的方法進行計算、證明，從而達到最終解決幾何問題的目的。這樣用代數的方法來研究幾何圖形的性質，将分割了幾千年的代數和幾何緊緊地聯系于一體。平面解析幾何的核心原理就是在平面上建立起坐标系，坐标系是由兩條正交的上面已标定好方向和長度單位的直線所組成的。由于确定了坐标系，因此平面上任何一個點都可以用一對實數來表示它所在的位置，任何一對實數也可用一個平面上的點來表示。這樣一來，圖形和位置關系研究就可以通過曲線方程轉化為對數量關系和計算問題的研究。從此代數問題有了幾何直觀的解釋，幾何直觀形象有利于發現代數中所蘊含的本質特征。這樣就自然地引出曲線與方程的關系以及概念，從而開啟解析幾何的學習。

笛卡兒創立的解析幾何學，表明了幾何問題不僅可以歸結成代數形式，而且可以通過代數變換來實現發現幾何性質，證明幾何性質。解析幾何的出現，改變了自古希臘以來代數和幾何分離的趨向，把相互對立着的“數”與“形”統一了起來，使幾何曲線與代數方程相結合。笛卡兒的這一天才創見，更為微積分的創立奠定了基礎，從而開拓了變量數學的廣闊領域。最為可貴的是，笛卡兒用運動的觀點，把曲線看成點的運動的軌迹，不僅建立了點與實數的對應關系，而且把形（包括點、線、面）和數兩個對立的對象統一起來，建立了曲線何方程的對應關系。這種對應關系的建立，不僅标志着函數概念的萌芽，而且表明變數進入了數學，使數學在思想方法上發生了偉大的轉折---由常量數學進入變量數學。

正是由于笛卡兒锲而不舍的毅力，勤思苦索的精神，獻身科學的決心，他開創了數學的新紀元，改變了科學的曆史進程。可以這麼說，17世紀以後，數學之所以能突飛猛進的發展，在很大程度上要歸功于坐标幾何學的創立。正如恩格斯所說：“數學中的轉折點是笛卡兒的變數。”有了變數，運動進入了數學；有了變數，辯證法進入了數學；有了變數，微分和積分也就立刻成為必要了。笛卡兒的這些成就，為後來英國物理學家、數學家牛頓( Newton)與德國數學家萊布尼茨(Leibniz)發現微積分奠定堅實基礎，為一大批數學家的新發現開辟了道路。

然而，利用笛卡兒坐标系來解釋阿基米德( Archimedes)螺線（亦稱等速螺線，即一個點勻速離開一個固定點的同時又以固定的角速度繞該固定點旋轉而産生的軌迹）問題是艱難的。正是因為笛卡兒坐标系難以解決阿基米德螺線問題，于是才創造性地引入極坐标系，由于阿基米德螺線問題涉及角度和距離等兩個問題，因此極坐标的核心就是一對有序數對（ρ，θ)。即極徑和極角來刻畫點的位置，這就是極坐标系的核心。

通過笛卡兒的“蜘蛛傳說”或者“蒼蠅傳說”以及阿基米德螺線問題，不僅讓學生知道直角坐标系的來源，而且還清楚為何必須引入極坐标概念，可謂水到渠成，堪稱完美。

六、故弄玄虛 無效探究

數學概念的形成不是一蹴而就的，一般都需要必要的探究曆程，因此我們必須旗幟鮮明地反對那種直接抛出概念，然後沒完沒了地強化訓練。但目前我國中學數學教育教學從一個極端走向另一個極端，從最早的“一言堂”“滿堂灌”“填鴨式’教學模式，到如今的處處都探究，課課搞探究，時時講探究，似乎不探究就不算數學課堂教學。

比如，在一節市級公開課中，有位教師在講授虛數i的引入時，裝模作樣讓學生探究，這不是胡鬧嗎？要知道一代又一代數學家經曆幾百年的探索才發現複數，學生怎麼可能在短短的課堂幾分鐘時間探究出虛數呢？令人啼笑皆非的是，居然有學生能夠“探究”出來！這種故弄玄虛、毫無意義的“探究”是對“探究式”教學的歪曲，必須停止。

事實上，并非所有的數學概念都要探究，數學中有些概念（比如虛數）就可以開門見山，采用一般講授式叙述概念。

其實，虛數這種假設，是需要勇氣的，人們在當時是無法接受的，認為它是想象的，不存在的，但這絲毫不影響數學家對虛數單位i的假設研究。印度數學家婆什迦羅(Bhaskara)是第一個遇到“虛數”的人，他認為“x² 1=0”這個式子沒有意義，并指出：“負數沒有平方根，因為它不是一個數。”第一次認真讨論這種數的是意大利著名數學家卡爾丹(Cardano)，他是1545年開始讨論這種數的。卡爾丹在1545年發表的《重要的藝術》一書中，公布了三次方程的一般解法，被後人稱之為“卡當公式”，他是第一個把負數的平方根寫到公式中的

數學家，并且在讨論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時，他得到了兩個奇怪的根：5 √-15，5-√-15。盡管他也認為這兩個表示式是沒有意義的，但他還是把10分成了兩部分，并使他們的乘積等于40。幾乎過了100年，“解析幾何之父”---法國數學家笛卡兒才給這種“虛幻之數”取了一個名字---虛數。笛卡兒在《幾何學》中使“虛的數”與“實的數”相對應，從此，虛數才流傳開來。又過了l40年，瑞士天才數數家歐拉(Euler)還是說這種數隻是存在于“幻想之中”，并用i(imaginary，即虛幻)來表示它的單位，後來譽為“數學王子”的高斯(Gauss)給出了複數的定義，但人們仍感到這種數有點虛無缥缈，盡管他們也感到它的作用。高斯做出了實質性貢獻。1830年，高斯詳細論述了用直角坐标系的複平面上的點表示複數a bi，使複數有了立足之地，人們才最終承認了複數。在代數基本定理的幾個證明中使用了複數，在數論中也用了複數，他闡述了複數的幾何加法和乘中。其中，複數為人們所接受關鍵在于複數及複數的代數運算獲得了集合解釋，挪威的韋塞爾(Wessel)和瑞士的阿爾岡(Argand)分别給出了複數和複數的代數運算的幾何解釋，直到今天，複數已經成為現代科技中普遍運用的數學工具之一。

早在原始人時代，人們在生産、生活中注意到一隻羊與一堆羊、一隻狼與整群狼在數量上不一樣，但為何不一樣還是無法說清，更不理解。因為當時人們僅僅知道“有”“無”“多”“少”等膚淺的概念，還不知道“數”為何物。後來因為生産、生活的實際需要，人們開始采用石頭計數、刻痕計數、結繩計數。所謂“結繩計數”，就是發生一次重要事件時，就在繩子上打一個結作為标記，如張三昨天捕獲一個兔子，就在繩子上打一個結，今天捕獲兩隻羊，就在繩子上打兩個結……後來一看張三繩子上打的結“多”，大家就推選他為頭目，李四打的結感覺也不“少”，就封他為小頭目，王五一個結都“沒有”，就隻能當個跑腿的。這種方法雖然簡單，但至少表明人們開始有了數的啟蒙概念，在經曆數萬年的發展後，直到距今大約五千年前，才出現了書寫計數以及相應的計數系統。随着生産力的不斷發展和文明的進步，數字不斷完善，數學就逐步發展起來。

顯然，最開始的數就是我們今天的正整數，但為了使得減法運算在數系中通行無阻以及表示相反意義的量， 人們引入了負數的概念。但負數産生的直接原因是解方程的需要。令人自豪的是，中國人最早提出負數并深刻認識負數，它大大地促進了數學學科的進一步發展。負數的概念最早出現在我國古代著名地數學巨著《九章算術》一書中的“方程”章。三國時期的數學家劉徽對負數給出了很自然的解釋“今兩算得失相反，要令正負以名之”。也就是說，在計算過程中遇到了有相反意義的兩，要用正數和負數來區分它們，并且在籌算中用紅

籌代表正數，黑籌代表負數，于是産生了整數。可是，當7個人一起狩獵到3隻兔子，而怎麼分享勝利成果時，現在人們覺得最簡單的事情，可在當時确實是天大的難題，因為運用正整數無法完成，為了解決這些實際問題，自然就産生了分數。整數、分數統稱為有理數，有理數的産生是數學史上數的第一次擴充。

後來人們發現邊長為1的正方形的對角線明明有長度，這是盡人皆知的事實，可是卻無法表示出來，因而引發了第一次數學危機，這也正是産生無理數的直接動機。無理數的引入，是數學史上數的第二次擴充，它不僅使無理數登上數學的舞台，而且順利地消除了第一次數學危機。17世紀中葉，牛頓與萊布尼茨發明了微積分，但當時的實數理論不夠完善，因而無法讓微積分得到嚴格化，由此引發第二次數學危機，直到19世紀中葉，德國數學家維爾斯特拉斯(Weierstrass)與康托爾(Cantor)等數學家建立了完善、嚴密的實數理論，至此化解了第一次和第二次數學危機。正因為這樣，才将微積分基本定理稱為“牛頓一萊布尼茨”公式。

在實數範圍内對各種數的研究使數學理論達到相當高深和豐富的程度，因此當時許多數學家認為數學成就已經達到登峰造極的地步，預計數的形式再也不會有什麼新的發現。但是在解決方程時常常遇到負數開平方的問題，正是為了解決與此相關的問題而引入虛數。虛數的引入，使得負數開平方名正言順，虛數的引入是數學發展史上最為重要的時刻，這就是數學史上數的第三次擴充，從而掀開數學發展新篇章。

七、缺乏反思 淺嘗辄止

數學概念是高度抽象概括的，數學教材是知識的精華與濃縮，往往言簡意赅，或者限于篇幅，有些過程未加以說明，常常會對學生學習産生障礙，教師要反思教材，以便及時充當教材與學生之間的協調員，對教材所呈現的思維鍊進行加密和拓展，合理設置階梯，給學生的思維搭橋，讓學生知其然，更知其所以然，使教材變得豐滿和易于接受。

新課改要求學生全程參與概念産生、生成過程，體驗概念引入、發展、歸納及提煉曆程，讓學生在辨析概念基礎上鞏固概念，在構建概念動态過程中理解、掌握、悟透概念的内涵與外延、特征與本質，打造魅力數學課堂，優化學生思維品質，激發創新意識及創造能力。

比如，在教授定積分概念時就處處考驗教師的專業功底與反思識。定積分引入新課标教材，為我們解決初等數學問題提供了新視角、新思維、新方法，應該說定積分既是重要的知識，更是一種功能強大的工具。借助定積分的觀點審視問題，揭示定積分的本質，解決一些利用初等方法難以解決的問題，顯得特别有效。然而，時下極端功利化的社會環境及高考的重壓下片面追求升學率，導緻定積分概念教學中普遍存在“一個定義、二項注意、三個例題、n個強化訓練題”的怪現象，教師沒有向學生充分展示，更沒有讓學生全程參與定積分概念的産生、發展、形成過程，甚至不少教師直接把微積分基本定理告訴學生，然後就讓學生沒完沒了地套用定理進行重複、機械、低效乃至無效甚至負效的所謂強化訓練，這與新課标明确要求的“三維目标”背道而馳，嚴重制約學生的能力發展，最終的惡果就是學生除了死闆套用公式求幾個簡單的定積分外幾乎一無所知，優化學生思維品質、培養學生創新意識、激發學生創造能力更是成為一紙空文。

新課改要求數學概念教學中舍得花時間、投精力。正是基于這一理念，新課标人教A版選修2-2用了大量的篇幅，甚至不厭其煩、想方設法地鋪墊，先從求曲邊梯形的面積到求汽車行駛的路程再到具體案例都是采用分割、近似代替、求和、取極限等四個步驟，新課标教材的主編經過如此反複的鋪墊後仍不放心，緊接着在教材随後的信息技木應用欄目中再一次強調上述四個步驟，而且教材特意安排豐富的課後練習及習題來鞏固定積分的概念以及具體操作的步驟，旨在引導學生體會并逐步理解這一思想的精妙所在。這足以看出定積分在新課标教材中被提高到從未有過的高度，足以顯示教材主編的用心良苦。

建構主義認為，學習是學生經驗體系在一定環境中自内而外的“生長”，它是以學生原有的知識經驗為基礎實現知識的建構，正是在這樣的理論指導下，新課标教材首先讓學生通過已有的認知水平（即用正多邊形逼近圓）來啟發、類比進而構建（構造）矩形逼近曲邊梯形，其本質就是“以直逼曲”“以不變應變”，其目的在于讓學生直觀感受分割、近似代替、求和、取極限的具體實施過程與方法，讓學生深刻領悟“數與形”“近似與精确”“有限與無限”“轉化與歸”等數學思想，讓學生從唯物辯證的高度認識量變到質變、運動與靜止、偶然與必然、具體與抽象、特殊與一般等哲學原理。

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾( Freudenthal)指出：“反思是數學思維活動的核心和動力，沒有反思，學生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平。”反思本質上是對教學的一種反省認知活動。“教而不思則罔，思而不教則殆。”反思就是為了總結教學經驗，探索教學規律，構建魅力課堂，優化學生思維品質，提高教學質量，同時它也是提升教師自己教學水平和能力的重要渠道。教師應該從學生普遍感到茫然不解的問題（案例）出發，深刻剖析學生的困惑，反思定積分概念教學，進而優化學生思維品質，構建數學魅力課堂教學。

當然，目前概念教學中存在的誤區遠不止這些，再如，不顧事實，自作主張；跨越過大，生硬搬出；隔斷聯系，制造裂痕；舍近求遠崇洋媚外；缺乏素養，僵屍教學；僵化思維，缺少人文。

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