高中數學由于知識點衆多，我認為要學好高中數學最重要的就是要善于歸納整理，形成自己的知識框架體系。我們先從這篇《高中數學必修1 不等式的證明思路》中來學習和領悟如何養成歸納整理的好習慣吧。

高中數學，我們做題時常會遇到哪些基本不等式，而證明不等式的方法又有哪些？本文為你詳細解讀。

一、常用基本不等式

我們先來看幾種平均數：

常用基本不等式

這四種平均數滿足 Hn ≤ Gn ≤ An ≤ Qn，即調和平均數≤幾何平均數≤算術平均數≤平方平均數。我們平時做題時，遇到的不等式相關問題，基本都離不開以上幾種平均數大小關系的比較。

特别地，當n=3時，均值不等式：設a、b、c∈R＋，則

當且僅當a＝b＝c時等号成立。

新人教版 高中數學必修一

一、證明不等式常用思路：

不等式的證明思路和方法有：比較法、綜合法、分析法、放縮法、反證法；換元法、常數代換法、幾何法、數學歸納法、構造函數法等。（換元法是一個需要專門讨論的方法，這裡暫不舉例）

1、比較法：比較法證明不等式的一般步驟：作差（作商）—變形—判斷—結論．

作差法：差與“0”比較。為了判斷作差後的符号，經常需要把這個差變形為一個常數，或者變形為一個常數與一個或幾個平方和的形式，也可變形為幾個因式的積的形式，判斷其正負．

作商法：商與“1”相比較。作商時，需要滿足兩者均為正數。

2、綜合法（順推）：綜合法是指從已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最後得到結論，其特點是“執因索果”，即由“已知”，利用已經證明過的不等式或不等式的性質逐步推向“未知”。

綜合法證明不等式的邏輯關系是：A B1B2…Bn B，及從已知條件 A 出發，逐步推演不等式成立的必要條件，推導出所要證明的結論 B.

3、分析法（逆推）：從求證的結論出發，分析使這個結論成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，即“執果索因”．即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。

4、放縮法：要證明不等式 A<B 成立，借助一個或多個中間變量通過适當的放大或縮小達到證明不等式的方法．

放縮法證明不等式的理論依據主要有：①不等式的傳遞性；②等量加不等量為不等量；③同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較．

常用的放縮技巧有：①應用均值不等式進行放縮；②舍掉(或加進)一些項；③在分式中放大或縮小分子或分母。

5、反證法：即從正難則反的角度去思考，要證明不等式A>B，先假設 A≤B，由題涉及其它性質，推出矛盾，從而肯定A>B. 凡涉及到的證明不等式為否定命題、唯一性命題或含有“至多”、“至少”、“不可能”、“不存在”等詞語時，可以考慮用反證法．

6、常數代換法

常數代換是指利用某些帶有常數項的恒等式，把常量化為變量代入到所求證的式子中，以到達化繁為簡的目的。

常用的帶有常數項的恒等式，可由題目中的條件變形得到，也可用常用的公式或公式變形。

7、幾何法

通過構造幾何圖形，利用幾何圖形的性質來證明不等式的方法稱為幾何法。

8、換元法

9、數學歸納法：當不等式是一個與自然數 n 有關的命題，

可以利用數學歸納法進行證明．

10、構造法：在不等式的證明中，可根據不等式的結構特點，恰當的構造一個與不等式相關的數學模型，如構造函數、方程、數列、向量等，實現問題的轉化，從而使不等式得到證明．

說明：其中8換元法，有專題研究，本文不做詳細讨論，9和10不屬于必修一内容，本文也暫且不做讨論。

三、不等式證明方法對應練習及規律方法

3.1、比較法

3.1.1、比較法（做差法）

3.1.2、比較法（作商法）：

3.2、綜合法

3.3、分析法

規律方法：用分析法論證“若 A 則 B”這個命題的模式是：欲證命題 B 為真，隻需證明命題 B1 為真，從而又隻需證明命題B2 為真，從而又……隻需證明命題 A 為真，今已知 A 真，故 B必真．簡寫為：BB1 B2… Bn A.

重要領悟：隻要含有根号或絕對值，我們就可以通過平方或者适當變形後平方，來去掉根号或絕對值。

3.4、放縮法

規律方法：利用不等式的傳遞性。要證 A>B，可适當選擇一個 C，使得 C≥B，那麼A>B,反之亦然．放縮技巧有：

①分式放縮：固定分母，放縮分子；固定分子，放縮分母．常用于分式類不等式的證明；

②添舍放縮：視情況丢掉或增多一些項進行放縮，常見于整式或根式配方後需要放縮的不等式的證明．

好了，今天就分享到這裡了，高中數學學習筆記将持續更新，敬請關注！

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