質數比較大小?李聯林簡介：目前已知最大的梅森質數是Mˇ82589933，位長為24,862,048本文提請學術界注意，發現了更大的質數數值，Lˇ134217728，其位長為134217728*2 2 = 268,435,458，更有Lˇ536870912，位長則為1,073,741,826，已超過十億位的長度；均要遠大于人們已知的最大質數，現在小編就來說說關于質數比較大小?下面内容希望能幫助到你，我們來一起看看吧!

質數比較大小

李聯林

簡介：目前已知最大的梅森質數是Mˇ82589933，位長為24,862,048。本文提請學術界注意，發現了更大的質數數值，Lˇ134217728，其位長為134217728*2 2 = 268,435,458，更有Lˇ536870912，位長則為1,073,741,826，已超過十億位的長度；均要遠大于人們已知的最大質數。

一、現狀

尋找更大的質數，已然成為數學界的一場奧林匹克競賽，“沒有最大、隻有更大”。

目前世界上已知的最大質數，是2018年發現的第51個梅森質數Mˇ82589933，它的十進制位長為24,862,048。所謂的梅森數，是指形如（2^p－1）的奇數，其中指數p必須是質數，記為Mˇp。若Mˇp繼續是質數，則稱其為梅森質數。即使通過國際合作，全球計算機聯網（GIMPS)，平均需要數年時間才能夠發現新的更大質數。

每當人們發現一個更大的質數，就像是科學界的一個盛大節日。1963年，美國伊利諾伊大學通過大型計算機找到第23個梅森質數時，全體師生感到無比驕傲，以緻于把所有從系裡發出的信件，都要敲上“211213－1是個質數”的郵戳。2013年，美國中央密蘇裡大學發現的第48個梅森質數，被英國《新科學家》周刊評為當年自然科學十大突破之一。

總部設在美國的電子前沿基金會（EFF）曾宣布，若發現超過一億位的梅森質數，獎金15萬美元；超過十億位數，25萬美元。不過，沒有一個數學家是為了獎金而去尋找更大的質數，而是為了滿足他們對于大自然的好奇。在這個過程中，極大地推動了數學的發展。本文作者嘛，除此以外，略有不同，閑得慌。

二、幾個冷知識

1 為什麼要在梅森數中尋找質數

首先是因為好表達。實際上，任何一個奇數都有可能是一個質數，但是一個有二千多萬位長的奇數，寫出來就要幾萬張A4紙。而梅森質數，隻需借助于一個公式，把與它位長有關的指數p寫出來就行了，例如Mˇ82589933，代表着（2^82589933－1）的數值。

2 質數的出現有規律嗎

幾百年來，幾乎所有的數學大師都研究過質數。長期以來，數學家們希望利用某種函數，來找到質數出現的規律；尤其是寄希望于梅森公式（質數），其中指數p的數值具有規律性嗎？當然，他們更希望能夠發現一種質數公式，隻要把某個數值帶入到這個公式中去，就可以得到任意大，且任意多的質數。

但是目前為止，所獲甚微。因此，學術界公認質數的出現雜亂無章，質數公式并不存在。

3 質數的分布越來越稀疏

包括梅森數、費馬數在内的所有奇數，數值越大，出現質數的概率就越低。這就是為什麼即使有巨型計算機的加持，全球聯網，數年間也難以發現更大質數的原因。

這麼說也許你就更明白了：即使發現一個很小，但是新的梅森質數，電子前沿基金會也有3000元獎金。

三、更大的質數

本人認為：現在數學家們在梅森數當中尋找更大的質數，雖不能說是一條死路，卻是一條充滿着無奈，越走越窄的笨路。應該換一個思路了！

1 “9091”數

有别于解析數論的傳統方式，本人自創了一個數論新分支--“結構數論”；研究結果表明，可在一種新型，且數值任意大的“9091”數當中尋找大質數。所謂的“9091”數，是指一種具有特殊結構特征的奇數，其最低的兩位數字是“91”，其餘高位數全部是成對的“90”。這樣一來，對于這類數值的表達，隻需要用Lˇl，描述出它們的位長即可，表達方式同樣非常簡潔。其中，大寫的字母L表示它是一個“9091”數，或者也可叫“9091”質數、結構質數；小寫的字母l，則表示該數值中含有“90”的對數。例如，9091可記為Lˇ1；909091可記為Lˇ2；909090909090909091則可記為Lˇ8；以此類推。根據定義，下一個數值就要增大兩位的長度，将以百倍的速度增長。

2 “9091”質數

本人條件有限，隻篩選計算了小于1000位長度的所有“9091”數值，發現其中有8個“9091”質數：Lˇ1；Lˇ2；Lˇ8；Lˇ14；Lˇ25；Lˇ32；Lˇ145；ˇL319。在“9091”數當中，出現質數的密度是否高于普通的奇數，是否符合現有的質數定理，作者暫未去研究，因為更關鍵是下一點。

3 “9091”質數有規律嗎

有,這種質數的出現可與其位長l的數值有關；這與人們試圖在梅森質數的p值當中尋找規律（可惜沒有），異曲同工。雖然目前隻計算到1000位長，但是從中已可以總結出兩個質數出現的必要條件和一個充分條件（本文是普及篇，詳見“結構數論及更大質數的發掘”一文）。

同時發現，這種“9091”質數可以再細分類，例如，Lˇ2、Lˇ8和Lˇ32就屬于同一個類型，從中可得出這一類質數的充分條件。按照這種嶄新的理論，隻需要對于較小的位長l進行計算挑選，計算量相對很小，隻要滿足了充分條件，就可以直接得到極大的質數Lˇl，這幾近于就是一種質數公式。

4 遠超梅森質數的“9091”質數

結構數論的精華之一，就是給出了某類“9091”質數的充分條件，并可據此預測出一些更大的質數：Lˇ2048，Lˇ32768，Lˇ131072，Lˇ134217728，Lˇ536870912，…。其中，Lˇ134217728和Lˇ536870912，就已大于目前人類已知的最大質數Mˇ82589933。這樣一來，尋找更大質數的過程，由在越來越多的數值當中大海撈針似地篩選，變成了對于少數幾個數值的驗證，計算量急劇減少，這就是一場革命。

四、後續工作方向

1 篩選出更多的“9091”質數

根據質數定理和概率論，随意寫出兩個隻有千或萬位長的奇數，碰巧都是質數的概率極小。那麼，篩選出十萬位以下，甚至更多位長的“9091”質數，至少兩個吧，即可間接地驗證，質數的兩個必要條件和一個充分條件是否成立（或者是大概率成立，概率也是一種規律），進一步證實結構數論的意義。更何況根據這種嶄新理論預測出的質數，可具有上億位的長度。

2 發現更多類型的質數充分條件

已發現的質數充分條件，隻是針對Lˇ2，Lˇ8和Lˇ32類型的質數。如果篩選出更多的“9091”質數，對于Lˇ1，Lˇ14，Lˇ25，Lˇ145和Lˇ319這些質數，或許還能找到它們的同伴；從中發現更多新類型的質數充分條件，進而預測出更多、更大的質數。

3 發現新型的結構質數

“9091”類型的質數是孤例嗎？有就更好，就像是地球文明也應該有個伴。本人建議，可以在“9901”類型的奇數中尋找質數及其規律。

4 驗證遠超目前已知最大梅森質數的“9091”質數

篩選出比Mˇ82589933更大的梅森質數，俨然是一個極其艱難、大海撈針似地過程，而驗證出Lˇ2048，Lˇ32768，Lˇ131072，Lˇ134217728，Lˇ536870912，是否是質數的工作量就應該小得多；因為無需篩選，隻是對于少量數值的驗證而已，複雜度僅為O(n^3)。

随着計算技術的發展，尤其是量子計算機的成熟，二十年後的今天，初中生當中就會有人發問：早知現在，何必當初？而我想說的是：若知将來，何必現在？

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