我們一直反複在說，要盡可能吸收題目的營養，要提升做題效率。用較少的習題，達到較多的訓練效果，這是脫離題海困境唯一的路。

　　但“吸收營養”、“提升效率”，這些說法都太虛了，誰不想做一題頂十題，可關鍵是要怎麼做才能達到這個效果？

　　對于中高年級來講，有一種方法對此幫助極大，也就是今天要講的一題多解。

　　今天不妨以大家極為熟悉的雞兔同籠問題為例，給家長們談談一題多解的重要性。

　　當然，對于孩子來講，光說重要性就遠遠不夠了，因為人有天生的惰性，幾乎不可能為了長遠的重要性，而心甘情願在當下付出數倍努力。

　　所以在給孩子講為啥要一題多解時，難度就要大很多。這要求老師在引入一種方法時，還要給出與之匹配的提升問題，倒逼孩子們感受到其他方法的局限性。

　　這樣的體驗多了，他們才能切身感受到單一方法的局限，以及其他方法的妙處，才能慢慢擺正心态，接受一題多解的學習方式。

　　在下面的講解過程中，我們也會提供這方面的引導。

　　雞兔同籠的标準問題，是這樣的。

　　例1：籠中裝有雞和兔，共有頭10個，共有腳32隻，請問雞和兔各有幾隻？

　　這題的解法相當多，通常大家在3、4年級奧數題裡，會講這些方法。

　　方法1：假設法

　　先假設全是雞，那麼應該有10×2=20隻腳，但是實際有32隻腳，因此我們假設的不對，需要把某些雞換成兔。那麼換幾隻呢？

　　把1隻雞換成1隻兔，腳從2隻變成4隻，即增加2隻，現在我們共需要增加32-20=12隻腳，因此需要換12÷2=6隻，因此有6隻兔，4隻雞。

　　上述過程，可以簡單用下圖來表示。

　　方法2：擡腳法

　　讓雞和兔都擡起兩隻腳，共擡起10×2=20隻腳，還剩32-20=12隻腳。這樣雞就沒有腳了，而兔子還剩兩隻腳。此時的腳全部都是兔子的，因此兔子有12÷2=6隻。

　　上述過程，可以簡單用下圖來表示。

　　方法3：公式法

　　這個沒啥好說的，屬于我們最不推薦的那一種。

　　兔子隻數=（雞兔的總腿數-2×雞兔的總隻數）÷2

　　=（32-2×10）÷2

　　=6隻

　　大家不難發現，這個公式本身就是上述兩種思路的推理結果，隻是非要跳過過程，強行總結出一個公式出來，實在是莫名其妙。

　　好了，中低年級常見的三種方法已經介紹完了。除了第三種完全不推薦，一二兩種方法都挺巧妙，對訓練中低年級數量關系有一定幫助。

　　多數同學，學到這裡就會非常滿足了。因為無論用方法1還是方法2，都可以完美解決标準的雞兔同籠問題。

　　但實際上，這是遠遠不夠的。為了說明這一點，這裡要出一個擴展案例。

　　例2：籠中裝有雞和兔，共有頭10個，雞腳比兔腳少22隻，請問雞和兔各有幾隻？

　　這題唯一的變化，是把雞腳和兔腳的和，變成了雞腳和兔腳的差。

　　不少同學，遇到這點局部變化就不會下手了，就是根本還沒理解題目的精髓。

　　首先，如果學的是公式法，将會被直接淘汰掉。因為公式的局限性極大，隻能适應标準問題，根本無法做到舉一反三。

　　而一些技法，還可以拿來用一用。比如這題，利用假設法還是可以處理的，但有些局部需要調整，這需要學生自己分析出某些數量關系，要求就高了一些。

　　假設法：

　　假設全是雞，那麼雞腳有10×2=20隻，兔腳有0隻。此時雞腳比兔腳多出20隻。如果換一隻兔，雞腳少2隻，兔腳多4隻，二者之差就變化6隻。因此需要換(20 22)÷(2 4)=7隻兔。

　　這裡有兩個難點，一個是換一隻兔，腳差值不再是原來的4-2=2隻，而是4 2=6隻。第二個難點，假設時雞腳比兔腳多，最後雞腳比兔腳少，二者要相加20 22。

　　經過測試，在沒見過也不講的前提下，能依靠原始假設法，同時把這兩點想明白做對的同學，比例還是很少的。

　　這是因為，大家在學習和使用假設法的時候，隻關注如何去用，卻從未想過方法是如何被總結出來的。這導緻一旦假設路徑變化，就用不出來了。

　　講到這裡，就要再提出一種方法，列表法。

　　這是蘇教版6年級課本在講雞兔同籠問題時提供的方法，展示一下：

　　方法4：列表

　　考慮到雞和兔都是整數，無非是某些組合而已，因此可以列表試探：

　　如表，我們試探了4次，就直接把答案試探出來了，雞為3隻，兔為7隻的時候，腳相差22隻。

　　有些同學非常鄙夷這種方法。因為課本問題比較簡單，都是标準問題，直接套公式或者用假設法就能做出來的。

　　但你發現，如果真的略有變化，比如這題要算腳的差值，那麼通過列表就非常容易做，列算式反而不太容易了。

　　甚至如果你觀察比較仔細，從表中很容易就找到規律，即每增加一隻兔，差異是要減少6。這樣再去列算式，就會簡單很多。

　　所以列表法的精髓，并不是真的要去一行行列出來，比如雞兔和有100隻時，根本不會有人去這麼幹的。列表法真正的精髓，是把某幾行的數據詳細展示出來，并以此找到明确的規律，再利用這種規律幫助我們列式計算。

　　從這個角度來看，列表法是比假設法更底層的方法。它适用的場景更多，更容易搞清局部變化，起點路徑更靈活。至于假設法，隻不過是列表法的一種結果而已。

　　多說一句，大家應該非常重視列表法。它在枚舉、找規律等領域是底層核心方法，除了雞兔同籠問題以外，還能解決海量的問題。

　　學到這裡，有四種方法了，夠了麼？

　　其實仍然是不夠的，因為這題如果再變化一下，管你假設還是列表，都很難解決。

　　例3：籠中裝有八爪魚和雙頭貓，共有頭25個，共有腳80隻，請問八爪魚和雙頭貓各有幾隻？

　　大家不要被這題的表層迷惑，認為是在故意難為大家。事實上，六年級試卷中有很多題目的底層結構，與此幾乎一緻，這裡隻不過以雞兔問題的形式來闡述而已。

　　這題假設法很難列出式子，列表法也很難找出規律（除非一種一種去列表試探）。究其原因，剛才那些題目很容易找到規律，主要在于無論如何換，它們的頭總量是不變的。

　　而這一題，在底層結構上變複雜了，因為一旦換魚為貓，非但腳數會變，頭數也會變，這就動搖了假設法的基礎。

　　類似的雙變量問題，很顯然是方程的解決領域。因此高年級的方程法，是必須要學，也必須要學好的。

　　解：設貓為x隻，則貓頭有2x個，則魚有（25-2x）隻。

　　魚腳 貓腳=80

　　8（25-2x） 4x=80

　　解得 x=10

　　答：雙頭貓有10隻，八爪魚有5隻。

　　方程法，才是解決雙變量問題的絕佳方法。這也是我們到了高年級後，遇到複雜變量關系時，會首選方程法的主要原因。

　　總結

　　公式法、擡腳法這種，雖然看似直觀，但屬于局部小技巧，根本無法推廣适用。

　　假設思想，是具有一定推廣意義的算法。但推廣難度稍高，且有一定局限性。

　　列表找規律，其實是假設法的源頭。而且列表是很底層的分析方法，在枚舉、找規律等多種問題中有廣泛用處。

　　至于方程，無需多言，雙變量等更複雜的變量關系中，它是快速解決問題的王者。

　　所以你看，看似一題，其實如果展開來講，能幫助我們學習各種解題方法，同時理解它們的局限性，以及在某些領域内特定的優勢。

　　你掌握的方法越多，對每種方法理解越深刻，就越能把數學學成一個交叉體系。在今後的考試中，才有能力在短時間内找到最優方法，獲得超高的解題性價比。

　　而平時隻滿足于一種方法的孩子，是遠遠無法達到這個境界的。

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