許多同學都知道這樣一個故事：大數學家高斯在很小的時候，就利用巧妙的算法迅速計算出從1到100這100個自然數的總和。大家在佩服贊歎之餘，有沒有仔細想一想，高斯為什麼算得快呢？當然，小高斯的聰明和善于觀察是不必說了，往深處想，最基本的原因卻是這100個數及其排列的方法本身具有極強的規律性——每項都比它前面的一項大1，即它們構成了差相等的數列，而這種數列有極簡便的求和方法。通過這一講的學習，我們将不僅掌握有關這種數列求和的方法，而且學會利用這種數列來解決許多有趣的問題。

一、等差數列

什麼叫等差數列呢？我們先來看幾個例子： 

① 1,2,3,4,5,6,7,8,9，…

② 1,3,5,7,9,11,13. 

③ 2,4,6,8,10,12,14… 

④ 3,6,9,12,15,18,21. 

⑤ 100,95,90,85,80,75,70. 

⑥ 20,18,16,14,12,10,8.

這六個數列有一個共同的特點，即相鄰兩項的差是一個固定的數，像這樣的數列就稱為等差數列。其中這個固定的數就稱為公差，一般用字母d表示，如：

數列①中，d=2-1=3-2=4-3=……=1

數列②中，d=3-1=5-3=……=13-11=2

數列⑤中，d=100-95=95-90=……=75-70=5

數列⑥中，d=20-18=18-16=……=10-8=2

一般地說，如果一個數列是等差數列，那麼這個數列的每一項或者都不小于前面的項，或者每一項都大于前面的項，上述例1的數列⑥中，第一項大于第2項，第2項卻小于第3項，所以，顯然不符合等差數列的定義。

為了叙述和書寫的方便，通常，我們把數列的第1項記為a1，第2項記為a2,……第n項記為an,an又稱為數列的通項，a1又稱為數列的首項，最後一項又稱為數列的末項。

二、通項公式

對于公差為d的等差數列a1,a2,…an…來說，如果a1小于a2，則顯然 a1－a2=a3－a2=…=an－an-1=…=d,因此： 

a2=a1 d 

a3=a2 d=(a1 d) d=a1 2d 

a4=a3 d=(a1 2d) d=a1 3d 

… 

由此可知：an=a1 (n－1)×d           (1) 

若a1大于a2，則同理可推得： 

an=a1－(n－1) ×d                    (2)    

公式（1）（2）叫做等差數列的通項公式，利用通項公式，在已知首項和公差的情況下可以求出等差數列中的任何一項。

三、等差數列求和 

若a1小于a2，則公差為d的等差數列a1,a2,a3,…,an可以寫為a1,a1 d,a1 d×2,…,a1 d×(n－1).所以,容易知道：

a1 an=a2 an-1=a3 an-2=a4 an-3=…=an-1 a2=an a1. 

設 Sn=a1 a2 a3 … an, 

則 Sn=an an-1 an-2 … a1, 

兩式相加得： 

2×Sn=（a1 an) (a2 an-1) … (an a1) 

即：2×Sn=n×（a1 an)，所以， 

Sn=n×（a1 an)÷2              (4) 

當a1大于a2時，同樣也可以得到上面的公式。這個公式就是等差數列的前n項和的公式。

題目做完以後，我們再來分析一下，本題中的等差數列有499項，中間一項即第250項的值是997，而和恰等于997×499.其實，這并不是偶然的現象，關于中項有如下定理：

對于任意一個項數為奇數的等差數列來說，中間一項的值等于所有項的平均數，也等于首項與末項和的一半；或者換句話說，各項和等于中間項乘以項數。 

這個定理稱為中項定理。

四、等差數列的應用

下面是給同學們的小練習，一起做做看吧！

感謝關注媛媛媽奧數課，下一講将進行“倒推法的妙用”的學習。

本期答案

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