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高中數學解析幾何橢圓弦長

教育更新时间:2024-11-25 14:48:31

弦長公式是高中數學解析幾何裡非常重要的基礎公式，在很多大題裡面扮演着重要角色。

并且求弦長的方法，在不同的圓錐曲線裡會有不同的方案，如何在題目中做出恰當的選擇也是同學們需要格外關注的。

高中數學解析幾何橢圓弦長（高中數學解析幾何方法）1

“該選哪條路呢？”

【1】圓錐曲線的通用弦長公式

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如果我們用A、B、C分别代表聯立方程消元後得到的二次方程的系數，則最後一步可以繼續推導下去：

高中數學解析幾何橢圓弦長（高中數學解析幾何方法）3

如果我們聯立方程消元後目标是以y為主元的二次方程，則弦長公式改寫為：

高中數學解析幾何橢圓弦長（高中數學解析幾何方法）4

例1：

高中數學解析幾何橢圓弦長（高中數學解析幾何方法）5

高中數學解析幾何橢圓弦長（高中數學解析幾何方法）6

例2：

高中數學解析幾何橢圓弦長（高中數學解析幾何方法）7

高中數學解析幾何橢圓弦長（高中數學解析幾何方法）8

點評：這道題的特色就在于該題使用了通用弦長公式的另一套公式，聯立方程消元的時候消的是x。

【2】圓的弦長公式

在計算圓的弦長公式時，除了可以用通用弦長公式之外，利用初中幾何中垂徑定理的原理，也可以計算弦長，在圓的問題裡面，我們常常更喜歡采用這種方式。

高中數學解析幾何橢圓弦長（高中數學解析幾何方法）9

注意：d是圓心到直線AB的距離，在高中數學，我們主要用點到直線距離公式計算。

例3：

高中數學解析幾何橢圓弦長（高中數學解析幾何方法）10

【3】抛物線焦點弦的弦長公式

在抛物線裡，若直線AB經過抛物線的焦點，那我們經常利用抛物線的定義把點到焦點的距離轉化成到準線的距離，這樣可以推出來抛物線的焦點弦長公式。

高中數學解析幾何橢圓弦長（高中數學解析幾何方法）11

特别注意：該公式隻适用于焦點弦，如果AB直線不經過焦點，不能用！不經過焦點，還是老老實實用通用弦長公式。

例4：

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