立體幾何中的高考高頻題型——求異面直線的夾角屬于中檔題，通常的做法是建系求解，這樣易于操作，但耗時稍長。在高考考場上惜時如金，如果能更快的解答這類題，就可以取得更大的心理優勢，減少潛在的失分，多得分。學霸之所以能取得高分，是因為他們平常做題多想少算，一題多解，融會貫通地研究各種題型的解法。考試時會根據題目的具體情境，選擇最優的解法。下面将求異面直線所成角三種方法歸納如下。

一、求異面直線夾角之向量法

①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的餘弦；③因為直線夾角為銳角，所以②對應的餘弦取絕對值即為直線所成角的餘弦值.

思路分析：先建立空間直角坐标系，設立各點坐标，利用向量數量積求向量夾角，再根據向量夾角與線線角相等或互補關系求結果.

答案 :C

總結：利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當的空間直角坐标系；第二，破“求坐标關”，準确求解相關點的坐标；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.

二、求異面直線夾角之幾何法

①平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；②利用邊角關系，找到（或構造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關系，用餘弦定理求角.

例2：[2018全國卷2，9]

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，為棱CC₁的中點，則異面直線AE與CD所成角的正切值為

思路分析：利用正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CD∥AB，将問題轉化為求共面直線AB與AE所成角的正切值，在△ABE中進行計算即可.

解析：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CD∥AB，

所以異面直線AE與CD所成角為∠EAB，

設正方體邊長為2a，

則由為棱CC1的中點，可得CE=a，

答案：C

總結：幾何法主要是通過平移，将兩條異面直線移到一個三角形中，再進行求解。求解思路是：①找到或做出該角；②将該角放到一個三角形中并求解它的某個三角函數值；③根據該角的取值範圍合理取舍。

三、求異面直線夾角之補形法

補形法是将一個幾何體補成另一個幾何體後，在新的幾何體中研究原幾何體中有關元素的位置關系及其大小。

例3：[2016年全國卷I理11]

平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A．α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m．α∩平面ABB1A1=n．則m，n所成角的正弦值為( )

思路分析：題目中線面關系、幾何體較為單一，所求幾何關系不易觀察。如果将題目中的幾何體進行複制補形，隐性的幾何關系就可通過平行轉化，變得直觀。

解析：在正方體ABCD-A1B1C1D1的下方補兩個相同的正方體，如圖。因為AR∥B1D1，AF∥D1C，可得平面ARF∥平面B1CD1，由題設可知AR，AF分别為m，n。

由圖可知△CB1D1為等邊三角形，故m，n所成角的角為60°,選項A正确.

答案：A

總結：補形法是站在高起點上思考問題，可極大提高考生空間想象能力，具有化抽象為直觀，化隐為顯的強大功能。補形法通常是将一般的幾何體補成特殊的正方體或長方體,将棱錐補成棱柱等.

上面三種方法,是求解異面直線夾角的常用方法,學霸們經常采用的是補形法!如果你有更好的方法,可以發表評論,共同學習!

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