一、點、線、角

● 點的定理：

1.過兩點有且隻有一條直線

2.兩點之間線段最短

● 角的定理：

1. 同角或等角的補角相等（∠A ∠B=180°,∠A ∠C=180°,則：∠C=∠B）；（∠A ∠B=180°,∠D ∠C=180°,∠A=∠D則：∠C=∠B）

2. 同角或等角的餘角相等（∠A ∠B=90°,∠A ∠C=90°,則：∠C=∠B）；（∠A ∠B=90°,∠D ∠C=90°,∠A=∠D則：∠C=∠B）

● 直線定理：

1. 過一點有且隻有一條直線和已知直線垂直

2. 直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

二、幾何平行

◆ 平行定理：經過直線外一點，有且隻有一條直線與這條直線平行

推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

◆ 證明兩直線平行定理：同位角相等，兩直線平行；内錯角相等，兩直線平行；同旁内角互補，兩直線平行

推論：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，内錯角相等；兩直線平行，同旁内角互補。（常用）

三、三角形

▲（1）内角定理

定理：三角形兩邊的和大于第三邊

推論：三角形兩邊的差小于第三邊

三角形内角和定理：三角形三個内角的和等于180°；三角形的外角等于與它不相鄰的兩個内角的和（常用）

▲（2）全等三角形

定理：全等三角形的對應邊、對應角相等

邊角邊定理(SAS)：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等

角邊角定理(ASA)：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等

推論(AAS)：有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等

邊邊邊定理(SSS)：有三邊對應相等的兩個三角形全等

斜邊、直角邊定理(HL)：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

▲（3）等腰三角形

性質定理：等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角)

推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊（常用）

推論2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合（三線合一）

判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)

▲（4）等邊三角形

性質定理：等邊三角形的三個内角都相等，并且每一個角都等于60°

逆定理：三個内角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是60°的三角形是等邊三角形。

▲（5）直角三角形

性質定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那麼它所對的直角邊等于斜邊的一半（要會證明）

判定定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半（要會證明）

勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a^2 b^2=c^2

勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c有關系a^2 b^2=c^2，那麼這個三角形是直角三角形

四、角的平分線

定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

定理2：到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上

角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

推論：一個三角形3個角的角平分線相交于1點

五、對稱定理

定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等（線段的垂直平分線性質）

逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

線段的垂直平分線，可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合

定理1：關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

定理2：如果兩個圖形關于某直線對稱，那麼對稱軸是對應點連線的垂直平分線

定理3：兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那麼交點在對稱軸上

逆定理：如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那麼這兩個圖形關于這條直線對稱

直角坐标系中對稱點的規律：點（x，y）關于x軸對稱的點的坐标為（x， -y）；

點（x，y）關于y軸對稱的點的坐标為（-x， y）。

六、多邊形内角和定理

定理：四邊形的内角和等于360°；四邊形的外角和等于360°

多邊形内角和定理：n邊形的内角和等于(n-2)×180°

推論：任意多邊的外角和等于360°

七、幾何圖形

■（1）平行四邊形

性質定理：

1.平行四邊形的對角相等

2.平行四邊形的對邊相等

3.平行四邊形的對角線互相平分

推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等

判定定理：

1.兩組對角分别相等的四邊形是平行四邊形

2.兩組對邊分别相等的四邊形是平行四邊形

3.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

4.一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

■（2）矩形

性質定理

1.矩形的四個角都是直角

2.矩形的對角線相等

判定定理

1.有三個角是直角的四邊形是矩形

2.對角線相等的平行四邊形是矩形

■（3）菱形

性質定理

1.菱形的四條邊都相等

2.菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角

菱形面積=對角線乘積的一半，即S=(a×b)÷2

判定定理

1.四邊都相等的四邊形是菱形

2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

■（4）正方形

1.正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

2.正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角

■（5）等腰梯形

性質定理：

1.等腰梯形在同一底上的兩個角相等

2.等腰梯形的兩條對角線相等

判定定理：

1.在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

2.對角線相等的梯形是等腰梯形

平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那麼在其他直線上截得的線段也相等

推論1：經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰

推論2：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊

八、中心對稱定理

定理1：關于中心對稱的兩個圖形是全等的

定理2：關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分

逆定理：如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那麼這兩個圖形關于這一點對稱

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