2021年湖南永州中考數學的這道抛物線相關的壓軸題（湖南很多地方中考數學都是有兩道壓軸題的，一道幾何，一道代數），最後兩小題的題型都有點新。最後兩小題用的方法更是高中階段才會經常用到的。學一學，對中考可能會有很大的幫助。

已知關于x的二次函數y1=x^2 bx c(實數b,c為常數).

(1)若二次函數的圖像經過點(0,4)，對稱軸為x=1，求此二次函數的表達式；

(2)若b^2-c=0，當b-3≤x≤b時，二次函數的最小值為21，求b的值；

(3)記關于x的二次函數y2=2x^2 x m，若在(1)的條件下，當0≤x≤1時，總有y2≥y1，求實數m的最小值.

分析：(1)c就是抛物線和y軸交點(0,4)的縱坐标4，求b則用對稱軸公式x=-b/(2a)=1. 這是絕對的送分題。

(2)分類讨論法的經典運用。很考驗考生的邏輯思維能力。頂點可能在端點x=b-3，x=b，或對稱軸x=-b/2取得。至于在哪裡取得這個最小值，就要分三種情況來讨論。（這種方法常見于高中數學）

①當-b/2<=b-3時，即對稱軸在所取區間左側時，由函數圖像的性狀可以知道，最小值在f(b-3)=21；

②當b<=-b/2時，即對稱軸在所取區間右側時，最小值在f(b)=21；

③當b-3<-b/2<b時，最小值在頂點f(-b/2)=21。

各自列得一個關于b的方程，解方程，再檢驗根是否符合條件，就可以了。

(3)這道題其實畫出草圖就一目了然了。很明顯的，m的最小值等于4。我們經常能看到中考數學壓軸題的最後一道小題，要求我們直接寫出答案。這是一道真正可以通過猜想得到答案的壓軸題，可惜，這次出題人卻不讓我們直接寫出答案了。我們在明知道答案的情況下，卻還得組織解題過程，你說氣不氣人！老黃真想用一句“由兩條抛物線圖像的性質，可知m=4最小”，就把它對付過去了。不過這樣做，怕是保不住分數，無奈隻好開始組織解題過程了：

解：(1)依題意：c=4, -b/2=1, ∴b=-2.

(2)由b^2-c=0，有c=b^2,

當b≤-b/2，即b<0時，f(b)=b^2 b^2 c=3b^2=21時，b=-根号7或b=根号7(舍去).

當b-3≥-b/2，即b≥2時，f(b-3)=(b-3)^2 b(b-3) c=3b^2-9b 9=21時，b=4或b=-1(舍去),

當0<b<2時，f(-b/2)=b^2/4 b^2/2 c=7b^2/4=21時，b=±2倍根号3(舍去).

∴b=- 根号7或b=4.

(3)列不等式2x^2 x m≥x^2-2x 4, 化簡得x^2 3x m-4≥0, 【轉化為解不等式的問題】

當△=9-4(m-4)≤0，即m≥25/4時，不等式恒成立. 【這是兩條抛物線沒有兩個公共點的情況。但這個時候不一定取得最小值】

當△=9-4(m-4)>0，即m<25/4時，x≥(-3 根号(25-4m))/2或x≥(-3 根号(25-4m))/2≤0.【這是兩條抛物線有兩個公共點的情況】

若(-3 根号(25-4m))/2≥1，無解. 【就是兩條抛物線的左交點不可能出現在x>=1的區間内】

若(-3 根号(25-4m))/2≤0，得m≥4；【這是兩條抛物線的右交點出現在非正區間的情況，這時就有y2≥y1】

∴m=4最小.【這種解法也常見于高中數學中。不過用到的知識，都是初中生就必須掌握的】

雖然一眼就可以看出答案，但想把這個答案求出來，還真不容易，您對這道題，怎麼看呢？

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