僅僅一個人獨善其身，那實在是一種浪費。上天生上我們，是要把我們當作火炬，不是照亮自己，而是普照世界；因為我們的德行尚不能推及他人，那就等于沒有一樣。

——莎士比亞

這也是柴老師目前在做的工作，一項可以稱之為影響他人的工作。僅僅獨善其身是不夠的，我想把我的數學經驗，全部的總結教授給大家。最好能培養出幾個滿分選手。也算是我之前一個很遺憾的事情吧。四年線下經曆，培養了很多高考高分選手，但始終沒有人能考到滿分。之所以對這個如此重視，是因為我真是在高中時期窮盡三年，無數次接近滿分，不管大測小測，總是會差那麼一兩分，貌似隻有一次，一個周末的測試上面，好像是全做對了。但是沒有官方公證。直到最後高考前夕，我知道自己可以考數學考的還不錯，但是不知道自己能不能沖擊滿分。唉，最後結果也證明了。

149，還是扣分了。真不是我不仔細，每次都極其仔細，但會有扣分點，可能真的是實力有限。如果他真是選擇或者填空題的話，應該就不會扣分了。

現在回憶起來，那些追逐高中數學滿分的日子，可以類比于那些我們高中時候追得到或者追不到的漂亮女生，其實現在看來她們當時也很青澀。但已經足夠将那時的我們死死的吸引住。我們或大張旗鼓，或者注重一切有她的細節。那麼青春的愛情和學習成績除了相同之外，還有一些很明顯的不同。那就是，你的高考成績，無論你的過程或陰險，或心酸，或輕松。那些成績會跟随我們一生。一旦考得好，會印在你身上一個符号。考的不高，也一樣。榮譽才是硬道理，那些情感可不是。

好，說回正題。今天要講的是三角形四心大合集。

分别為;外心，内心，重心，垂心。挨個來看。

外心：三角形外接圓的圓心，正賢定理中，a除以sinA即為外接圓直徑2R.特征向量：OA=OB=OC

還有一個難的證明，咱看一下

不會的同學請評論，或者私信我。

内心：角分線交點，内切圓的圓心，到三邊距離相等。

内心應用：2S=Cr （C是三角形周長）

在雙曲線中：焦點三角形，内切圓圓心的橫坐标，也是靠近動點那一側的實軸端點。

特征向量：aBC bAC cAB=0

這仨都是内心中最常考的東西，知道之後會省很多時間。那個不懂得可以在下方評論。

重心，也是考的非常頻繁的一個問題。三角形三邊中線的交點。

特征向量 OA OB OC=0

重心坐标（（x1 x2 x3）/3，（y1 y2 y3）/3）

比例關系：1：2

垂心

三邊高線的交點

掌握了這些武器，一旦能加以運用，提升十分妥妥的。

作者：柴老師

高考數學149分，哈工大本科，北京大學雙學位在讀。四年來幫助上千名學生高考提分三十加。

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