數學不是沿着清理幹淨的公路謹慎行進的，而是進入一個陌生的荒野的旅行，在那裡探險者往往會迷失方向。撰史者應該注意這樣的嚴酷事實：繪就的是地圖，而真正的探險者卻已消失在别處。 ——W﹒S﹒安格林

數學思維

1. 開方

開方（rooting），指求一個數的方根的運算，為乘方的逆運算，在中國古代也指求二次及高次方程（包括二項方程）的正根。

一個數有多少個方根，這個問題既與數的所在範圍有關，也與方根的次數有關。

在實數範圍内，任一實數的奇數次方根有且僅有一個，；正實數的偶數次方根是兩個互為相反數的數；負實數不存在偶數次方根；零的任何次方根都是零。在複數範圍内，無論n是奇數或偶數，任一個非零的複數的 n次方根都有n個。

如果複數z＝r(cosθ＋ i sinθ），r＝｜z｜，那麼它的n個n次方根是：

1. 分數指數幂

分數指數幂是一個數的指數為分數，分數指數幂是根式的另一種表示形式。分數指數幂亦即是有理數指數幂，同理還可以推廣到實數指數幂。

讨論題：為什麼要規定a>o?

開放運算隻是是指數幂的一個逆運算（a>0,n是整數），

它還有一個逆運算是對數運算。

1. 對數

3.1對數與指數互化

幂運算的指數逆運算是對數運算：底數不變，幂指數變對數，幂變真數。

讨論題：你知道為什麼要規定（a>0,且≠1）與C>0嗎？

3.2指數幂運算法則與對數運算法則互化（a>0且≠1，M,N>0,m,n是整數）

4.對數的發展史

4.1初次出現

對此問題論述最早的當數中國的《九章算術》，其中第195題曰：“今有蒲生一日，長三尺；莞生一日，長一尺，蒲生日自半，莞生日自倍，問幾何日而長相等？”

與此題同類的是《九章算術》第196題：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問幾何日相逢？各穿幾何？”

解：設x日莞蒲等長，“日自倍”即當日生長的長度是前一日的2倍，“日自半”是當日生長的長度是前一日的一半。于是由等比數列求和公式可推出下面等式：

化簡得指數方程為，可求出x值：

由此可知我國數學家在漢代已經處理過有關指數函數y=2^x的問題，但有趣的是那個時代世人尚不知對數是何物，所以此題當時是無法求得其精确值的。故《九章算術》對此題“答曰：二日十三分日之六”，即是x=2又(6/13)日，這個答案是錯的，或者說隻是近似值。

有興趣者可以自己算算“兩鼠對穿”的答案。“蒲生莞生”和“兩鼠對穿”這兩個題賦予中國古代數學家建立指數與對數的大好機遇，擦肩而過，實在可惜。可惜又何止中國的古代數學家呢!

4.2 西邊風景獨好

公元前三世紀，古希臘數學家阿基米德在他的名著《計砂法》中，就曾研究過以下兩個數列：

并發現了幂的運算與指數之間的聯系。然而，由于阿基米德的天才思想，大大超越了當時的時代，智慧的火花終因後繼無人而湮滅了。

公元1544年，德國數學家斯蒂菲爾（1487～1567）在《普通算術》宣布自己發現了一種關于整數的奇妙性質，他認為：“為此，人們甚至可以寫出整本整本的書”。

他發現了等差數列與等比數列之間具有這樣的對應關系：

他驚奇地發現：等比數列數列中的兩數相乘，其乘積的“代表者”，剛好等于等差數列數列中相應兩個“代表者”之和；而等比數列中的兩數相除，其商的“代表者”，也恰等于等差數列中兩個“代表者”之差。斯蒂菲爾得出結論：可以通過如同上面那樣的比較，把乘除運算化為加減運算！這個結論就是上面“積的對數等于對數之和，商的對數等于對數之差”的雛形。

曆史常常驚人的重複着這樣的人與事 ：當發現明明就在眼下，隻緣一念之差，卻被輕輕錯過！他困惑于自己的發現為什麼可以算出16×256=4096，卻算不出更簡單的16×250=4000。

他終于沒有看出在離散中隐含着的連續，而是感歎于自己研究問題的“狹窄”。在偉大的發現面前，剛剛伸出門外的腳不得不又縮了回來。

正當斯蒂菲爾感慨自己江郎才盡，一直在對數門前來來回回之際，納皮爾（napier，1550～1617）出現了，他的方法很簡單，隻不過是讓任何數都找到了與它對應的“代表者”。這相當于在斯蒂菲爾離散的表中，密密麻麻地插進了許多的中間值，使人看上去宛如無數的緯線穿行于經線之中，顯示出布匹般的連續。

公元1594年，納皮爾在曆經了7300個晝夜之後，精心編制了一本厚達200多頁的八位對數表（對數的底數為e）。公元1614年，納皮爾發表了《關于奇妙的對數法則的說明》一書，書中論述了對數的性質，給出了有關對數表的使用規則和實例。納皮爾終于用自己20年的計算，換來了人世間無數壽命的延續①！法國數學家拉普拉斯誇贊說：“如果一個人的生命是拿他一生中的工作多少來衡量，那麼，對數的發明，等于延長了人類的壽命。”

不幸的是，納皮爾的工作雖然延長了他人的壽命，卻沒有使自己的生命得以延長。三年後，由于積勞成疾，勞累過度的納皮爾不幸離世。

在納皮爾離世的前一年他與牛津大學的教授布裡格斯會面，他接受教授的建議，把對數的底數從e改為10，這是一項偉大的建議。從此以後對數表就改成以10為底數的常用對數。而把以e為底的對數叫自然對數（e是另一個重要的無理數，上節已出現過）。

納皮爾的對數發明頗具傳奇性，當時的歐洲，代數學仍處于十分落後的狀态，此時指數的概念尚未建立。在這種情況下先提出對數的概念，不能不說是一種奇迹，正是這“神來一筆”改變了曆史的發展進程。

對數是十七世紀人類最重大的發現之一。在數學史上，納皮爾的對數、笛卡爾的解析幾何及牛頓萊布尼茨的微積分三花齊放，被譽為“曆史上最重要的數學方法”。

4.3納皮爾計算尺

納皮爾還是數學家中為數不多的能工巧匠，他發明一種計算尺，對每個自然數1，2，3，4,5,6,7,8,9，各作一把尺子，例如6号尺如圖下圖9-1.

例如求1615×365=？

把1号，6号，1号。5号四把尺子拿來依次排列成圖9-2.從圖9-2的第三行上“斜加”抄得（3 1）8（3 1）5=4845；同理從第六行抄得（6 3）6（6 3）0=9690；從第五行抄得

（5 3）0（5 2）5=8075.于是，

5.數系擴充的重新解讀

5.1運算的封閉性需要

從小學到高中，數不斷地擴充。擴充并不完全是生活實踐的需要，比如前面說過的，0的産生就遠遠在分數之後，本文所講的對數就在指數之前，這與我們課本的排列順序可是不同的喲。為什麼呢？數系的擴充緣由部分是來源于生活的需要，但是更多的是由于數學研究的需要，尤其是構造運算的封閉性的需要。

在正整數中，加法是封閉的，但是加法的逆運算就不封閉了，于是引入了0和負數。負數的引入實現了自然數到整數的擴充，使得對于加法、減法、乘法是封閉的，但除法又不封閉了，于是分數出現了，有理數緊随其後。有理數雖然對加減乘除是封閉的，對某些開方又不封閉了，無理數應運而生了。實數域中隻有非負數可以開偶次方根，為了突破這種局限性，使得開方運算可以普遍施行，最終引進了虛數，導緻了複數域的出現。

5.2逆運算的合理性發展

從“數的加減乘除乘方的逆運算可以進行”出發，同樣可以将數從有理數逐級擴大到複數，對這種數系的擴大我們不能僅僅看成是數的量上的擴張，更重要的是“逆運算永遠可以進行”中蘊含着的“正反兩個方面”的思考與結論，有這一思想作軸線，使學生将高中與初中相關數學知識連成一個整體，一方面看到了數系發展的軌迹，另一方面又能通過這一事例得到方法、法則方面的借鑒而思考其他；例如幂函數、指數函數、對數函數的定義、性質、圖像，就是把初中的幂、指數、對數引入函數概念而引申，并以運算性質為基礎發展而得到的。反過來用函數的觀點來看幂、指數、對數又會有新的心得體會和感受。

逆運算進而逆問題永遠是數學問題重要來源之一。

正運算都是封閉的，而逆運算一般是開放的，即正運算不會導緻數域的擴充，而逆運算則可能會導緻數域的擴充。當然乘方、開方、對數未必是運算的最高階（我們一般把加減運算看成是一階運算，乘除是二階運算，乘方、開方、對數是三階運算），還可能有我們沒有發現的比乘方等更高的四階、五階、甚至更高。數域的範圍也會随之變化，複數就未必是最大的數域了。

5.3插上想象的翅膀（腦洞大開）

比如說0是不能作為除數的（我們現在仍然認為0作除數無意義），能否構造一種運算讓0作為除數呢？這樣的運算估計會讓人驚掉下巴，也必然會有新數的出現。有理數集估計又會出現新的定義方式了吧！

再比如負數為什麼沒有對數呢？你是否可以構造一種運算讓負數有對數呢？你能對此發表你的高見嗎？

全文總結：

加法是完全一緻的事物的重複或累計，是數字運算的開始。減法是加法的逆運算；乘法是加法的特殊形式；除法是乘法的逆運算；乘方是乘法的特殊形式；開方是乘方的逆運算；對數是在乘方的各項中尋找規律；由對數而發展出導數；然後是微分和積分。數字運算的發展，是更特殊的情況，更高度重複下的規律。

注：

①16世紀的歐洲，由于資本主義迅速發展，天文、航海、測繪、造船等行業亦得到迅猛的發展，這就給數學提出了新的課題。有一個集中暴露出來的問題是：在星體的軌迹計算，船隻的位置确定，大地的形貌測繪，船舶的結構設計等一系列的課題中，人們所遇到的數據越來越越複雜，計算也越來越難！無數的乘除、乘方、開方等等，耗費了科學家大量的極其寶貴的時間和精力。急需一種能減少運算的有效地計算工具。

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