大家好！本文和大家分享一道2006年江蘇高考數學真題。這道題是當年那套試卷的第20題，也就是倒數第二題，滿分16分，其中第一小問滿分4分，第二小問和第三小問滿分都是6分。這道題的難度還是很大的，全班沒有一人得到滿分。

首先來看一下第一小問：求t的取值範圍及函數的解析式m(t)。

求t的取值範圍，實際上也就是求函數t=√(1 x) √(1-x)的值域，所以需要先求出函數t的定義域，即1 x≥0且1-x≥0，解得-1≤x≤1。而對于雙根号的函數，可以嘗試用平方法求值域，兩邊平方後得到t^2=2 2√(1-x^2)。由x的範圍可知0≤1-x^2≤2，那麼2≤t^2≤4。又t≥0，所以√2≤t≤2。

由t^2的表達式可以用t^2表示出√(1-x^2)，然後代入f(x)的解析式，這樣就可以得到m(t)的解析式。需要注意的是不要漏掉了t的取值範圍。

再看第二小問：求g(a)。

g(a)是函數f(x)的最大值，也就是函數m(t)的最大值，所以接下來隻需要求出m(t)在[√2,2]上的最大值即可。

由于m(t)的解析式的二次項含有參數，所以需要對參數進行讨論。

當a=0時，m(t)=t，是增函數，所以g(a)=m(2)=2。

a≠0時，m(t)就是一個關于t的二次函數，這樣也就變成了動軸定區間的二次函數最值問題。

當a＞0時，m(t)為開口向上的二次函數的一段，且該二次函數的圖像的對稱軸為t=-1/a＜0，即m(t)的圖像隻是完整二次函數在對稱軸右側的一部分，所以m(t)為增函數，故g(a)=m(2)=a 2。

當a＜0時，m(t)為開口向下的二次函數的一段，接下來就分二次函數的對稱軸在區間的左側、内部、右側三種情況讨論。當對稱軸在區間左側時，m(√2)為最大值；在區間内部時，m(-1/a)為最大值；在區間右側時，m(2)為最大值。

最後，綜合上面的情況，得到g(a)的表達式。

最後看第三小問：求a的值。

這一問很多同學看了就頭疼，其實理清思路後就簡單了。要求g(a)=g(1/a)的解，那麼首先需要表示出g(1/a)的解析式，而要求g(1/a)的解析式，就需要對1/a的範圍進行讨論。所以，這一問最終還是用分類讨論的方法求解。

不過，在讨論時要兼顧到a和1/a的範圍，所以分類要更細才行。詳細過程見下圖：

這道題的難度确實比較大，不少同學連第一小問都沒能求出來，更多的同學則是在第二和第三小問丢了分。第二小問中很多同學忽略了a=0的情況，第三小問也是分類不夠細導緻出錯。你覺得這道題難嗎？

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