立體幾何中存在性與探索性問題是個難點，如果用向量的方法來處理則往往可使問題化難為易，加之用向量解答此類問題的方法固定，操作簡單，能避開複雜的轉化與邏輯推理，因此更具可行性．

例1 在底面是菱形的四棱錐

中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=

a，點E在PD上，且PE∶ED＝2：1，在棱上是否存在一點Ｆ，使

∥平面？證明你的結論．

解：以Ａ為坐标原點，直線

分别為y軸、z軸，過點A垂直平面yOz的直線為x軸，建立空間直角坐标系（如圖１）．

由題設條件，相關各點與向量的坐标分别為

，

．

設點Ｆ是棱上的點，

（其中0＜

＜1），

則

．

令

，得

即當

時，

，亦即F是PC的中點時，

共面．又

平面，所以當是棱的中點時，∥平面．

注：利用共面向量有關定理建立方程是動點存在性問題得以解決的關鍵．本題還可以求出平面的法向量n，通過

⊥n求BF∥平面AEC（将線面平行轉化為直線與平面的法向量垂直）時，F所在的位置，這種以“以求代證”的方法是需要掌握的．

例2 在單位正方體

中，點Ｅ是棱

的中點，棱

上是否存在一點，使得

⊥平面

．如存在，請确定點Ｆ的位置；如不存在，請說明理由．

解：以Ａ為坐标原點，

分别為

軸的正方向建立空間直角坐标系，設在棱上存在且

，則

．

．

又

平面

．

故有

，故當F為棱CD的中點時，⊥平面．

注：利用空間向量數量積的有關性質是确定空間平行、垂直關系的一種有效方式．這種将幾何問題代數化的方法真正體現了空間向量的作用．

從以上的例題可以看到，利用空間向量研究立體幾何中的探索性（或存在性）問題的關鍵是構建向量及空間直角坐标系，然後利用空間向量的數量積、向量模的投影公式處理空間平行、垂直等位置關系問題，還可避開傳統的“作———證———算”中的難點，具有較強的可操作性．

例3 如圖2，已知平行六面體的底面

是菱形，

且

．

（1）證明

；

（2）若

，求二面角

的平面角的餘弦值；

（3）當

的值等于多少時，能使

⊥面？

解：（1）略；（2）略；

（3）不妨設

⊥平面，，

則

，

而

，

由

，

得

，

注意到

，可得方程

，解得

或

（舍）．

因此，當

時能使⊥平面．

注：本題蘊涵轉化思想，通過空間向量将空間中的垂直關系利用數量積轉化到二次方程

的正數根問題，特别是設

（特殊值）的技巧值得學習！

▍ 來源：綜合網絡

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