無理數是很有趣的，小數點一直延續下去，但是整個數總是小于一個固定值，這不是很尴尬嗎？更令人驚訝的是，這些數字是如何與畫在一個平面上的圓聯系在一起的，是的，我說的就是π。這裡我們将用半頁紙來證明這個數字π的無理性。

幾千年來，人類文明就已經知道π及其與周長和圓面積的關系；盡管π的估算從3到3.12再到3.14等等，但它的無理性卻隻有約翰·海因裡希·蘭伯特發現并證明了-(德語：[lambt]，法語：讓-亨利·蘭伯特；1728年8月26日至1777年9月25日)，他是1760年的瑞士博物學家，後來被其他著名的數學家如厄米特、卡特萊特、布爾巴基和拉茨科維奇所研究。

然而，當這些證明被認為是高水平的數學時，Ivan Niven博士的一篇論文用簡單易懂的工具，用古老的矛盾方法将其縮短在半頁紙裡，讓我們來看看。

首先考慮π是有理數，π可表示為π = a/b，其中a和b為整數且b≠0。讓我們再考慮一個函數:

我們可以将n從1變換到任意數n，得到一個多項式F(x):

現在，回到f(x)，很明顯當n!與f(x)相乘，分母為1，因此對于任意x, f(x)的結果是一個整數。所以

現在，如果你考慮右邊，(a -b.x)^n中x的最低次幂是0，在a^n中，當它乘以x^n時，結果中x的最低次幂是n，最高次幂是n n = 2n。

如果對f(x)求導，當x = 0或(a - b.x) = 0 => x = a/b = π(如前所述)時，結果總是0，因為分子中所有項都有x。現在我們對(F ' (x) sin x - F(x) cos x})關于x求導。

經過一些簡化，我們得到的結果是：這裡将把它作為一個有趣而簡單的題目留給大家。

你可能知道，積分是微分的逆運算，反之亦然。因此，如果對f(x) sin x積分，也就是對{f ' (x) sin x - f(x) cos x}求導後的結果，我們得到的結果是{f ' (x) sin x - f(x) cos x} ！在0到π的範圍内積分相同，我們得到：

在此，π＝ a / b。如前所述，F（π） F（0）是一個整數，可以任意次數地将f（x）微分，因為x = a / b =π和x = 0的結果是整數。

但由于f(x)是一個多項式函數，當0 < x < π時，f(x). sinx的最小值為0，而x的值為f(x)。通過對sinx = 0求導可以得到sinx = 0的最大值，接下來如果将值代入，就得到了該函數值在上述極限中的一個上界。

很好，所以這個積分是正的，但是對于一個非常大的n它就不成立了，當n的值更大時，它的上界趨向于0。

換句話說，對于n的任意值的積分在n的更大值處斷開，所以有兩種可能性，要麼是積分過程出錯，要麼是π不能寫成a/b。但如果你用多種方法來驗證積分過程，結果總是一樣的，要麼就是π≠a/b，要麼就是π無理數！

雖然現在有許多人已經記住了成千上萬個π的數字，但隻有少數人知道如何證明它的無理性。盡管有很多對π無理性的證明，甚至有一個從未存在過的法國數學家布爾巴基的證明，但伊凡·尼文的證明碰巧是最簡潔的。

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