一道2022年數學高考一卷題-有關三角運算
題目：記三角形ABC的内角為A， B， C,其所對應的邊長為a, b, c, 已知
cosA/(1 sinA)=sin2B/(1 cos2B)
若C=2π/3, 求∠B的大小。
這是今年的六月7号剛考完的高考數學1卷的第18題的第一部分，第二部分跟邊長有關，限于篇幅，将會在另外的文章中讨論。這裡重點求解第一部分。總的感覺今年的高考數學題非常難，即便是學霸也會感到棘手。
解：這道題的一個解題思路是利用三角學中的正切的半角公式， 即：
題中所給的等式cosA/(1 sinA)=sin2B/(1 cos2B)的右側顯然符合這個恒等式的形式， 但左側不符合，因此需要做一個恒等變換，使其符合正切的半角公式。
因為cosA=sin(π/2-A)
且 1 sinA=1 cos(π/2-A)
所以
cosA/(1 sinA)
=sin(π/2-A)/(1 cos(π/2-A))
=tan(π/4-A/2)
已知的等式右側
sin2B/(1 cos2B)
=tanB
因此
tan(π/4-A/2)=tanB
由于π/4-A/2>0, 所以A<π/2, 同時對應正切函數tanx， 其最小正周期為π
假如π/4-A/2 π=B， 則π π/4=B A/2<π π/4, 這是矛盾的，所以隻有：
π/4-A/2=B
另外已知C=2π/3, 根據A B C=π，
即 A B=π/3
結合A/2 B=π/4
解出B=π/6
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