立體幾何中的存在性問題常見的有平行、垂直、距離和夾角這些常考不衰的重點内容,命題設置常以解答題的形式出現.近幾年在高考中還出現了一些設置新穎的存在性探索性問題,這些問題多以客出題的形式出現,成為高考數學命題的一個新亮點.

由于此類問題涉及到的點具有運動性和不确定性屬于動态幾何問題,用純幾何的方法來解決對空間想像能力、作圖能力和邏輯推理能力的要求很高,大多考生都不敢問津.若用向量方法處理,尤其是通過建立空間直角坐标系利用待定系數法求解存在性問題則思路簡潔明了,解法程序化操作方便.下面我們通過典型例題解讀向量法求解立體幾何存在性問題的類型和方法.

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一、幾種常見的存在性問題

1.平行垂直有關的存在性問題

平行與垂直是立體幾何的兩種重要的位置關系,其中線線的平行與垂直是基礎,線面平行和垂直是重點考查内容,應引起高度關注.

例題：

例2（2020年12月28日開考的“大課改大數據大測評”2021屆高三聯合測評數學試題的第20題）

夾角問題主要有線線角、線面角和面面角,其中線線角是基礎,線面角和面面角是高考重點考查内容.

例3（2012年湖北省八市高三三月聯考理科第18題）

一個四棱錐的三視圖如圖2所示.

（Ⅰ）求證PA⊥BD;

(Ⅱ)在線段PD上是否存在一點Q,

使二面角Q-AC-D的平面

點撥：線線角、線面角和面面角是立體幾何中與角有關的主要問題,利用向量法解決此類問題可以避開抽象、複雜的尋找角的過程,隻要能夠準确理解和熟練應用下列公式就可以使此類問題巧妙獲解.

3. 與距離有關的存在性問題空間中的距離問題主要有點點距離、點線距離、點面距離、線面距離和面面距離等,其中點面距離是高考重點考查内容.

二、幾道别緻的存在性高考創新題

例5（2010高考全國卷Ⅱ理科第11題）

與正方體的三條棱所在直線

的距離相等的點( )

A．有且隻有1個 B.有且隻有2個

C．有且隻有3個 D.有無數個

點撥 這是一道與三線等距的點的存在性創新探索題,本解法從特殊入手,通過直覺思維和合情推理,歸納猜想直線DB1上的任意一點到三條棱所在直線的距離相等,然後通過坐标法進行演繹推理驗證猜想.

例6（2010年高考江西卷理科第10題）

點撥 這是一道與三線等角的直線的存在性創新考題,本解法通過建系設點,利用兩直線的夾角與兩直線的方向向量夾角的餘弦值的絕對值相等建立等量關系,把直線的條數問題轉化為直線的不共線方向向量的種數問題而使問題得以解決.

例7（2008年遼甯理科第11題）

點撥 這是一道與三線都相交的直線的存在性創新考題,本題若用幾何構造法則費時費力很難湊效,本解法采用坐标法巧妙設點,然後根據三點共線的向量關系列方程,将直線存在性問題轉化為判斷方程組的解的個數問題,從而使問題得以解決.

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