01

幾何易錯知識點

線、角

1 直線沒有端點，沒有長度，可以無限延伸。

2 射線隻有一個端點，沒有長度，射線可以無限延伸，并且射線有方向。

3 在一條直線上的一個點可以引出兩條射線。

4 線段有兩個端點，可以測量長度。圓的半徑、直徑都是線段。

5 角的兩邊是射線，角的大小與射線的長度沒有關系，而是跟角的兩邊叉開的 大小有關，叉得越大角就越大。

6 幾個易錯的角邊關系：

　（1）平角的兩邊是射線，平角不是直線。

　（2）三角形、四邊形中的角的兩邊是線段。

　（3）圓心角的兩邊是線段。

7 兩條直線相交成直角時，這兩條直線叫做互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足。

8 從直線外一點到這條直線所畫的垂直線段的長度叫做點到直線的距離。

9 在同一個平面上不相交的兩條直線叫做平行線。

三角形

1 任何三角形内角和都是180度。

2 三角形具有穩定的特性，三角形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊之差小于第三邊。

3 任何三角形都有三條高。

4 直角三角形兩個銳角的和是90度。

5 兩個三角形等底等高，則它們面積相等。

6 面積相等的兩個三角形，形狀不一定相同。

正方形面積

1 正方形面積：邊長×邊長

2 正方形面積：兩條對角線長度的積÷2

三角形、四邊形的關系

1 兩個完全一樣的三角形能組成一個平行四邊形。

2 兩個完全一樣的直角三角形能組成一個長方形。

3 兩個完全一樣的等腰直角三角形能組成一個正方形。

4 兩個完全一樣的梯形能組成一個平行四邊形。

圓

把一個圓割成一個近似的長方形，割拼成的長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于圓的半徑。則長方形的面積等于圓的面積，長方形的周長比圓的周長增加r×2。

半圓的周長等于圓的周長的一半加直徑。

半圓的周長公式：Ｃ＝pd¸２＋d或Ｃ＝pr＋２r　　

在同一個圓裡，半徑擴大或縮小多少倍，直徑和周長也擴大或縮小相同的倍數。而面積擴大或縮小以上倍數的平方倍。

圓柱、圓錐

把圓柱的側面展開，得到一個長方形，這個長方形的長等于圓柱的底面的周長，寬等于圓柱的高。

如果把圓柱的側面展開，得到一個正方形，那麼圓柱的底面周長和高相等。

把一個圓柱沿着半徑切開，拼成一個近似的長方體，體積不變，表面積增加了兩個面，增加的面積是r×h×2。

把一個圓柱沿着底面直徑劈開，得到兩個半圓柱體，表面積和比原來增加了兩個長方形的面，增加的面積和是d×h×2。

把一個圓柱加工成一個最大的圓錐，那麼圓柱與圓錐等底等高，削去的圓柱的體積占圓柱體積的， 削去的圓柱的體積占圓錐體積的2倍。

把一個圓柱截成幾段，增加的表面積是底面圓，增加的面的個數是：截的次數×2。

02

集合圖形的九大解法

分割線法

▌例1：将兩個相等的長方形重合在一起，求組合圖形的面積。（單位：厘米）

解：将圖形分割成兩個全等的梯形。S組=（7-2 7）×2÷2×2=24（平方厘米）

▌例2：下列兩個正方形邊長分别為8厘米和5厘米，求陰影部分面積。

解：将圖形分割成3個三角形。S=5×5÷2 5×8÷2 （8-5）×5÷2=12.5 20 7.5=38（平方厘米）

▌例3：左圖中兩個正方形邊長分别為8厘米和6厘米。求陰影部分面積。

解：将陰影部分分割成兩個三角形。

S陰=8×（8 6）÷2 8×6÷2=56 24=80（平方厘米）

添加輔助線法

▌例1：已知正方形邊長4厘米，A、B、C、D是正方形邊上的中點，P是任意一點。求陰影部分面積。

解：從P點向4個定點添輔助線，由此看出，陰影部分面積和空白部分面積相等。S陰=4×4÷2=8（平方厘米）

▌例2：将下圖平行四邊形分成三角形和梯形兩部分，它們面積相差40平方厘米，平行四邊形底20.4厘米，高8厘米。梯形下底是多少厘米？

解：因為添一條輔助線平行于三角形一條邊，發現40平方厘米是一個平行四邊形。

所以梯形下底：40÷8=5（厘米）

▌例3：平行四邊形的面積是48平方厘米，BC分别是這個平行四邊形相鄰兩條邊的中點，連接A、B、C得到4個三角形。求陰影部分的面積。

解：如果連接平行四邊形各條邊上的中點，可以看出空白部分占了整個平行四邊形的八分之五，陰影部分占了八分之三。

S陰=48÷8×3=18（平方厘米）

倍比法

▌例1：已知OC=2AO,SABO=2㎡，求梯形ABCD的面積。

解：因為OC=2AO，所以SBOC=2×2=4（㎡）SDOC=4×2=8（㎡）SABCD=2 4×2 8=18（㎡）

▌例2：已知S陰=8.75㎡，求下圖梯形的面積。

解：因為7.5÷2.5=3（倍）所以S空=3S陰S=8.75×（3 1）=35（㎡）

▌例3：下圖AB是AD的3倍，AC是AE的5倍，那麼三角形ABC的面積是三角形ADE的多少倍？

解：設三角形ADE面積為1個單位。

則SABE=1×3=3 SABC=3×5=15

所以三角形ABC的面積是三角形ADE的15倍。

割補平移

▌例1：已知S陰=20㎡，EF為中位線求梯形ABCD的面積。

解：沿着中位線分割平移，将原圖轉化成一個平行四邊形。從圖中看出，陰影部分面積是平行四邊形面積一半的一半。SABCD=20×2×2=80（㎡）

▌例2：求下圖面積（單位厘米）。解1：S組=S平行四邊形=10×（5 5）=100（平方厘米）

解2：S組=S平行四邊形=S長方形=5×（10 10）=100（平方厘米）

▌例3：把一個長方形的長和寬分别增加2厘米，面積增加24平方厘米。求原長方形的周長。

解：C=（24÷2-2）×2=20（厘米）

等量代換

▌例1：已知AB平行于EC，求陰影部分面積。

解：因為AB//EC所以S△AOE=S△BOC則S陰=0.5S長方形=10×8÷2=40（㎡）

▌例2：下圖兩個正方形邊長分别是6分米、4分米。求陰影部分面積。

解：因為S1 S2=S3 S2=6×4÷2所以S1=S3

則S陰=6×6÷2=18（平方分米）

等腰直角三角形

▌例1：已知長方形周長為22厘米，長7厘米，求陰影部分面積。

解：寬=22÷2-7=4（厘米）S陰=（7 （7-4））×4÷2=20（平方厘米）或S陰=7×4-4×4÷2=20（平方厘米）

▌例2：已知下列兩個等腰直角三角形，直角邊分别是10厘米和6厘米。求陰影部分的面積。

解：10-6=4（厘米） 6-4=2（厘米）S陰=（6 2）×4÷2=16（厘米）

▌例3：下圖長方形長9厘米，寬6厘米，求陰影部分面積。

解：三角形BCE是等腰三角形

FD=ED=9-6=3（厘米）S陰=（9 3）×6÷2=36（平方厘米）

或S陰=9×9÷2-3×3÷2=36（平方厘米）

擴倍法、縮倍法

▌例：求左下圖的面積（單位：米）。

解：将原圖擴大兩倍成長方形，求出長方形的面積後再縮小兩倍，就是原圖形面積。S=（40 30）×30÷2=1050（平方米）

代數法

▌例1：圖中三角形甲的面積比乙的面積少8平方厘米，AB=8cm，CE=6cm。求三角形甲和三角形乙的面積各是多少？

解：設AD長為Xcm。再設DF長為Ycm。

8X 8=8（6 X）÷2X=44Y÷2 8=6（8-Y）÷2Y=3.2S甲=4×3.2÷2=6.4（c㎡）S乙=6.4 8=14.4（c㎡）

▌例2：下圖是一個等腰三角形，它的腰長是20厘米，面積是144平方厘米。在底邊上任取一點向兩腰作垂線，得a和b，求a b的和。

解：過頂點連接a、b的交點。

20b÷2 20a÷2=14410a 10b=144

a b=14.4

看外高

▌例1：下圖兩個正方形的邊長分别是6厘米和3厘米，求陰影部分的面積。

解：從左上角向右下角添條輔助線，将S陰看成兩個鈍角三角形。（鈍角三角形有兩條外高）

S陰=S△ S△ =3×（6 3）÷2 3×6÷2 =22.5（平方厘米）

▌例2：下圖長方形長10厘米，寬7厘米，求陰影部分面積。

解：陰影部分是一個平行四邊形。與底邊2厘米對應的高是10厘米。

S陰=10×2=20（平方厘米）

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