文章來源：初中數學

數學大師

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01 點、線、角

點的定理：過兩點有且隻有一條直線

點的定理：兩點之間線段最短

角的定理：同角或等角的補角相等

角的定理：同角或等角的餘角相等

直線定理：過一點有且隻有一條直線和已知直線垂直

直線定理：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

02 幾何平行

平行定理：經過直線外一點，有且隻有一條直線與這條直線平行

推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行證明兩直線平行

定理：同位角相等，兩直線平行；

内錯角相等，兩直線平行；

同旁内角互補，兩直線平行

兩直線平行

推論：兩直線平行，同位角相等；

兩直線平行，内錯角相等；

兩直線平行，同旁内角互補

03 三角形内角定理

定理：三角形兩邊的和大于第三邊

推論：三角形兩邊的差小于第三邊三角形

内角和定理：三角形三個内角的和等于180°

04 全等三角形判定

定理：全等三角形的對應邊、對應角相等

邊角邊定理(SAS)：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等

角邊角定理(ASA)：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等

推論(AAS)：有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等

邊邊邊定理(SSS)：有三邊對應相等的兩個三角形全等

斜邊、直角邊定理(HL)：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

05 角的平分線

定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

定理2：到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

06 等腰三角形性質

等腰三角形的性質定理：等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角)

推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合

等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)

07 對稱定理

定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合

定理1：關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

定理2：如果兩個圖形關于某直線對稱，那麼對稱軸是對應點連線的垂直平分線

定理3：兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那麼交點在對稱軸上

逆定理：如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那麼這兩個圖形關于這條直線對稱

08 直角三角形定理

定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那麼它所對的直角邊等于斜邊的一半

判定定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a^2 b^2=c^2

勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c有關系a^2 b^2=c^2，那麼這個三角形是直角三角形

09 多邊形内角和定理

定理：四邊形的内角和等于360°;四邊形的外角和等于360°

多邊形内角和定理：n邊形的内角和等于(n-2)×180°

推論：任意多邊的外角和等于360°

10 平行四邊形定理

平行四邊形性質定理：

1.平行四邊形的對角相等

2.平行四邊形的對邊相等

3.平行四邊形的對角線互相平分

推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等

平行四邊形判定定理：

1.兩組對角分别相等的四邊形是平行四邊形

2.兩組對邊分别相等的四邊形是平行四邊形

3.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

4.一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

11 矩形定理

矩形性質定理1：矩形的四個角都是直角

矩形性質定理2：矩形的對角線相等

矩形判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形

矩形判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形

12 菱形定理

菱形性質定理1：菱形的四條邊都相等

菱形性質定理2：菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角菱形面積=對角線乘積的一半，即S=(a×b)÷2

菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形

菱形判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

13 正方形定理

正方形性質定理1：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

正方形性質定理2：正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角

14 中心對稱定理

定理1：關于中心對稱的兩個圖形是全等的

定理2：關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分

逆定理：如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那麼這兩個圖形關于這一點對稱

15 等腰梯形性質定理

等腰梯形性質定理：

1.等腰梯形在同一底上的兩個角相等

2.等腰梯形的兩條對角線相等

等腰梯形判定定理

1.在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

2.對角線相等的梯形是等腰梯形

平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那麼在其他直線上截得的線段也相等

推論1：經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰

推論2：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊

16 中位線定理

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半：L=(a b)÷2S=L×h

17 相似三角形定理

相似三角形定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似

相似三角形判定定理：

1.兩角對應相等，兩三角形相似(ASA)

2.兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似(SAS)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似

3：三邊對應成比例，兩三角形相似(SSS)相似

直角三角形定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那麼這兩個直角三角形相似

性質定理：

1.相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比

2.相似三角形周長的比等于相似比

3.相似三角形面積的比等于相似比的平方

18 三角函數定理

任意銳角的正弦值等于它的餘角的餘弦值，

任意銳角的餘弦值等于它的餘角的正弦值

任意銳角的正切值等于它的餘角的餘切值，

任意銳角的餘切值等于它的餘角的正切值

19 圓的定理

定理：過不共線的三個點，可以作且隻可以作一個圓

定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧

推論1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦并且平分弦所對的兩條弧

推論2：弦的垂直平分弦經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

推論3：平分弦所對的一條弧的直徑，垂直評分弦，并且平分弦所對的另一條弧

定理：

1.在同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等

2.經過圓的半徑外端點，并且垂直于這條半徑的直線是這個圓的切線

3.圓的切線垂直經過切點的半徑

4.三角形的三個内角平分線交于一點，這點是三角形的内心

5.從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

6.圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

7.如果四邊形兩組對邊的和相等，那麼它必有内切圓

8.兩圓的兩條外公切線的長相等；兩圓的兩條内公切線的長也相等

20 比例性質定理

比例的基本性質如果a：b=c：d，那麼ad=bc

如果ad=bc，那麼a：b=c：d

合比性質

如果a/b=c/d，那麼(a±b)/b=(c±d)/d

等比性質

如果a/b=c/d=…=m/n(b d … n≠0)，那麼(a c … m)/(b d … n)=a/b

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