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平行四邊形作為特殊的四邊形，一直是中考試題中的主角。尤其是在綜合了函數知識後動态研究它的存在性問題，對學生分析問題和解決問題的要求較高。

此類題目主要考查平行四邊形的判定與性質、函數解析式的确定與性質，考查識圖作圖、運算求解、數學表達等能力，數形結合、分類讨論、函數與方程等數學思想。學生在處理問題的時候，往往不能正确分類，導緻漏解。

此外，在解題時一般需要添設輔助線，借助

平行四邊形的對角線性質，來探究平行四邊形的存在性問題就是一個很好的途徑。

平行四邊形對角線互相平分的坐标探究

即平行四邊形每條對角線上兩個頂點的橫坐标之和相等，縱坐标之和也相等。根據這個結論就可簡潔地解決平面直角坐标系中平行四邊形存在性問題。

如圖 3，A、B、C 是平面上不在同一直線上的三個點。① 畫出以 A、B、C 為頂點的平行四邊形；② 若 A、B、C 三點的坐标分别為(－ 1，5)、( －5，1)、(2，2)，請寫出這個平行四邊形第四個頂點 D 的坐标。

此題是解決平行四邊形存在性問題的基礎題，由于有三個點已經确定，在作圖時，一般會分别選擇 AB、AC、BC 為對角線來進行畫圖，但這樣的前提是要有三個定點。然而很多靈活複雜的此類問題卻往往隻有兩個定點，所以可以把其中的以 BC 為對角線轉換成以 AD 為對角線，這樣就可以以不變應萬變了，隻要取定已知點比如 A，然後按 AB、AC、AD 分别為對角線來進行分類。這樣能夠比較明确的得到所有情況，而且可以避免遺漏。

如圖 4，以 AB 為對角線的平行四邊形 AD1BC；以AC 為對角線的平行四邊形 ABCD2；以 BC 為對角線的平行四邊形 ABD3C．設 D1 坐标為(x，y)．

在平行四邊形AD1BC中，對角線 AB與 CD1互相平分，也就是 AB 的中點與CD 1 的中點重合，A、B、C三點的坐标分别為( －1，5)、 ( －5，1)、 (2，2)， 所以可得方程組：

解得D點的三種情況坐标。

在解答平面直角坐标系中平行四邊形存在性問題時，首先可将四個點的坐标表示出來，然後利用與其中一點有關的三條線段分别為對角線進行分類，最後根據對角線互相平分時中點重合，構造方程組進行求解。

巧用對角線探究平行四邊形的存在性

利用對角線進行分類讨論，再利用對角線互相平分構造等量關系，是否也能處理比較複雜的存在性問題呢？舉例說明。

巧用對角線探究平行四邊形的适度拓展

在一些問題中，還常常會要求學生讨論菱形、矩形的存在性。此時我們可在上述基礎上增加相應條件，如增加兩條對角線互相垂直、鄰邊相等得到菱形，增加鄰邊互相垂直、對角線相等得到矩形，利用點坐标求得相應線段的長度從而求解。事實上利用坐标求解的思路還适用于等腰三角形、直角三角形、圓的存在性問題。有時，我們甚至還可以通過構造平面直角坐标系來求解。

已知正方形ABCD，點E 是BC 上一點，以 AE 為邊作正方形 AEFG．

(1) 連接 GD，求證:△ADG ≌ △ABE；

(2) 連接FC，求證:∠FCN = 45°；

(3) 請問在 AB 邊上是否存在一點Q，使得四邊形DQEF是平行四邊形？若存在，請證明；若不存在，請說明理由。

(3) 如圖，以B為坐标原點，BA 為 y 軸，BC 為 x 軸，設 BE = a，BC = 1，BQ = b， 過 F 作 FH ⊥ x 軸，可得 △ABE ≌ △EFH，所以 E 點坐标(a，0)，F點坐标(1 a，a)，D點坐标(1，1)，Q點坐标(0，b)，又因為四邊形 DQEF 是平行四邊形。隻能 DE，QF為對角線。

一般利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，利用兩點的中點公式進行求解，當四邊形隻有1個頂點是動點時，我們可以利用已知的三點求出平行四邊形的第4個頂點，然後看這個點的坐标是否符合題意；當有兩個點是動點時，先設其中的一個動點的坐标為（a，b）在根據這3點的坐标求出第4點的坐标，再把這個點代入它所在直線或者抛物線的解析式中，求出a，b的值。

其次我們把圖形進行分割，利用三角形全等來解決，方法見 動态問題中的正方形。

再次我們可以一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，這時候需要用到兩點之間的距離公式（可以利用勾股定理計算），因為已知的兩點所在的直線解析式可以求出，再利用平行線的k值相等，設平行于已知直線的解析式為y=kx b，分别聯立方程求出兩個交點的坐标（用含有b的式子表示），再計算這兩個交點之間的距離，使這個距離等于已知兩點之間的距離。

需要注意的是，任意兩點的連線可能是四邊形的一條邊或者對角線，我們需要分情況來讨論。

思考

已知抛物線y=ax² bx c的對稱軸為x=3/2，與x軸的交點A的坐标為(﹣1,0)，與y軸的交點為C（0，-4）

（1）求抛物線的解析式；

（2）M在抛物線上，N在抛物線的對稱軸上，是否存在點M、N，使A、C、M、N四點組成的四邊形是平行四邊形，若存在，求出M、N的坐标；若不存在，請說明理由。

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