二、圖解法

圖解法是對數量關系進行适當的幾何解釋，把代數或三角問題轉化為幾何問題，在利用幾何和函數的圖像的知識實現代數、三角問題解決的方法。

1、函數圖像法

通過引進函數，利用函數的圖像實現幾何解釋的圖解法，稱函數圖像法。

例題1、若不等式

例題1圖1

的解集為 （0,2），求實數 a 的值 。

解：設 y1 = √(4x - x^2) ，其圖像是圓心在（2,0），半徑為 2 的上半圓 ，如下圖所示：

例題1圖（2）

設 y2 = （a - 1）x ，它是過原點的直線系，當且僅當 y2 = （a - 1）x 經過點 A（2,2）時才有：

當 x ∈ ( 0, 2） 時，y1 ＞ y2 ，因而 2 = （a - 1）• 2 ，即 a = 2 。

例題2、若 a ＞ 0 , b ＞0 , c ＞ ( a b ) / 2 ，

求證：

例題2圖（1）

解題思路：

待證不等式組最左端和最右端與一元二次方程的根的表達式接近，若把它們進行等價變形為根的表達式的形式

例題2圖（2）

問題轉化為證明方程 ax^2 - 2cx b = 0 的兩個根一個大于 1 ， 一個小于 1 。

這可由讨論函數 y = ax^2 - 2cx b 的性質得到 。

證明：

令 f(x) = ax^2 - 2cx b 因為 a > 0 ，所以函數的圖像是開口向上的抛物線 。

∵ c ＞ ( a b ) / 2 > 0 , ∴ c^2 > [( a b ) / 2 ]^2 ≥ ab ,

∴ △ = 4c^2 - 4ab ＞ 0 。

∵ c ＞ ( a b ) / 2 ， ∴ 2c ＞ a b ,

∴ a - 2c b < 0 , ∴ f(1) = a - 2c b < 0 。

這說明抛物線與 x 軸的左交點在點 （1,0）的左側，而右交點在點 （1,0）的右側，如下圖所示：

例題2圖（3）

即

例題2圖（4）

即

例題2圖（5）

2、幾何圖形法

通過構造精确定義上的幾何圖形的圖解法叫幾何圖形法。

例題3、若 a ＞ 0 , b ＞0 , c ＞0 ，

求證：

例題3圖（1）

解題思路：

考慮到 a , b , c 都是正數，且每個被開方式與餘弦定理形式接近，利用餘弦定理的幾何解釋，每個無理式都表示某三角形的一邊，而由這三個三角形作基礎可構成一個四面體，由這個四面體來證明這個不等式。

證明：

構造四面體 OABC ，使 OA = a , OB = b , OC = c ，∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 60° ， 如下圖所示：

例題3圖（2）

由餘弦定理有：

AB^2 = a^2 b^2 -2ab • cos60° = a^2 b^2 - ab；

BC^2 = b^2 c^2 - 2bc • cos60° = b^2 c^2 - bc ;

CA^2 = a^2 c^2 -2ac • cos60° = a^2 c^2 - ac 。

在 △ABC 中 ， ∵ AB BC > CA

∴

例題3圖（3）

例題4、若 α ，β 都是銳角，且 sin( α β) = 2sinα ， 求證： α ＜β 。

解題思路：

由已知條件 sin( α β) = 2sinα 聯想到正弦定理，可構造以 α ，β 為内角的三角形 。

證明：

因為 α ，β 都是銳角 ，構造以 α ，β 為内角的三角形 ABC ，如下圖所示：

例題4圖（1）

∠B = α ， ∠C = β 。

∵ sin∠A = sin( π - α - β） = sin(α β)

∴ sin∠A = 2sin∠B

因此可設 BC = 2 ， AC = 1

∵ AB > BC - AC = 1

∴ α ＜β

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