抽象代數體系

現代數學建立在集合論的基礎上，一切可用集合描述，集合是我們描述一切的起點。

集合是由一些特定對象構成的全體，定義集合是為了與其他事物進行區分，突顯出我們關注的研究對象。常用大寫字母表示集合，如。而集合中的對象，我們稱之為集合的元素，常用小寫字母表示，如。當我們要研究實數時，我們就用表示全體實數構成的集合，其中的任何元素，也就是一個實數，可以記為。

我們常說，整體等于部分之和。用集合來表達，部分其實就是集合中部分元素構成的小集合，我們稱之為集合的子集。兩個集合的元素放到一起構成一個更大的集合，這種運算稱為取并集，得到的結果稱為這些集合的并集，記為。比如，全體實數，是有理數和無理數的并集。有理數我們一般記作，而無理數沒有常用記号，但是注意到無理數就是全體實數中不為有理數的部分，可以記為（有的書上也記為）。這就是差集的概念。注意一般差集并不要求減号前面的集合包含減号後面的集合。

要研究兩個集合的相關性的話，首先想到的就是它們的共同部分是什麼。這個部分，我們稱之為兩個集合的交集，記為。

集合之間最富有創造性的運算，無疑是笛卡爾積，就像是神來之筆。有了笛卡爾積，就可以把映射看成是笛卡爾積的子集。兩個集合的笛卡爾積，定義為

也就是說，從兩個集合中各取一個元素做成有序對，就得到了笛卡爾積中的元素。這裡要注意元素對是有序的。

映射和關系是刻畫世界運行變化和事物相互關聯最為重要的一環。一個集合到另一個集合的映射，指的是一個規則，對于第一個集合中的任何元素，都可以通過這個規則唯一确定出第二個集合中的一個元素與之對應，這個對應的元素稱為前面那個元素在映射下的像。如果第二個集合是數的集合，我們通常稱此映射為函數，稱後面那個對應的元素為在函數下的值。建立保持集合特定性質的映射，将是我們在抽象代數中最重要的方法。而關系，天生就是将具有特定關聯的對象群體從獨立出來。它所表達的不是個别事物之間的關聯，而是一個集合中所有對象之間的關聯。具體說，一個集合上的二元關系，是這個集合和自己的笛卡爾積的一個非空子集。在這個子集中的元素有序對，被稱為具有此關系，而其他元素有序對則不具有此關系。常用的關系有：偏序關系和等價關系。偏序關系，描述的是順序；等價關系，描述的是在一定意義上的等同。

定義集合，是為了将事物區分開來，但是如果事物之間隻有區分，而沒有等同，也非常難以把握和理解。我們思考和理解，所依靠的正是“事物間的相同”。所以，集合從外面看，是“異”，從裡面看，就是“同”。

集合思維非常重要，很多東西用集合來看就更有邏輯性。而集合思維的一個代表就是集合相等的定義。兩個集合相等，就是說這兩個集合中的元素完全相同。但是，這種定義方式不具有操作性，因而比較難理解。我們怎麼說明兩個集合中的元素完全相同呢？實際做的時候，集合相等說的就是，你是我的部分，我是你的部分。而你是我的部分，就是任取你中的一個元素，經過一系列推理，得到這個元素也在我的裡面；反之亦然。

代數運算，是代數的核心。有了集合，我們理解代數運算就容易了。二元運算，其實就是我們的加法，乘法的抽象，是一個集合的笛卡爾積到這個集合本身的一個映射。具體說，就是這個集合中取一個元素，然後再取一個元素，按運算規則可以在這個集合中找到唯一一個确定的元素。注意，前兩個元素是有序的，先取,再取，得到的像，和，先取，再取，得到的像，可能是不同的。

理解代數運算的時候，最好将集合中的元素想象成是對某個對象的某種操作，比如鏡面反射，平移，旋轉，将代數運算想象成這些操作的複合，也就是先做這個操作，再做那個操作，然後得到的代數運算的結果，就是從起點到終點的操作。

通過使用操作的複合來思考代數運算，自然地，會考慮具有結合律的代數運算。所謂結合律，指的是，依次取3個元素，用前兩個先做運算得到的結果，再與第3個元素做運算，和，用第1個元素，與後兩個元素做運算的結果再做運算，這兩個過程得到的結果是相同的。需要注意的是，這兩個過程中3個元素的次序位置是不能改變的。

一個集合連同上面的一個或者多個代數運算，就可以被稱為一個代數系統。二元運算具有結合律的代數系統被稱為半群。恒等操作，也就是什麼都不做的操作，具有與任何操作交換的特性。它的抽象物就是幺元。含有幺元的半群被稱為幺半群。大于1的正整數全體連同乘法構成沒有幺元的半群，而正整數全體連同乘法構成幺半群。

至此，我們奠定了研究後續代數系統——群、環、域的集合論基礎。

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