偏微分方程的起源

如果一個微分方程中出現的未知函數隻含一個自變量，這個方程叫做常微分方程，也簡稱微分方程；如果一個微分方程中出現多元函數的偏導數，或者說如果未知函數和幾個變量有關，而且方程中出現未知函數對幾個變量的導數，那麼這種微分方程就是偏微分方程。

在科學技術日新月異的發展過程中，人們研究的許多問題用一個自變量的函數來描述已經顯得不夠了，不少問題有多個變量的函數來描述。比如，從物理角度來說，物理量有不同的性質，溫度、密度等是用數值來描述的叫做純量；速度、電場的引力等，不僅在數值上有不同，而且還具有方向，這些量叫做向量；物體在一點上的張力狀态的描述出的量叫做張量，等等。這些量不僅和時間有關系，而且和空間坐标也有聯系，這就要用多個變量的函數來表示。

應該指出，對于所有可能的物理現象用某些多個變量的函數表示，隻能是理想化的，如介質的密度，實際上“在一點”的密度是不存在的。而我們把在一點的密度看作是物質的質量和體積的比當體積無限縮小的時候的極限，這就是理想化的，介質的溫度也是這樣。這樣就産生了研究某些物理現象的理想了的多個變量的函數方程，這種方程就是偏微分方程。

微積分方程這門學科産生于十八世紀，歐拉在他的著作中最早提出了弦振動的二階方程，随後不久，法國數學家達朗貝爾也在他的著作《論動力學》中提出了特殊的偏微分方程。這些著作當時沒有引起多大注意。1746年，達朗貝爾在他的論文《張緊的弦振動時形成的曲線的研究》中，提議證明無窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動的模式。這樣就由對弦振動的研究開創了偏微分方程這門學科。

和歐拉同時代的瑞士數學家丹尼爾·伯努利也研究了數學物理方面的問題，提出了解彈性系振動問題的一般方法，對偏微分方程的發展起了比較大的影響。拉格朗日也讨論了一階偏微分方程，豐富了這門學科的内容。

偏微分方程得到迅速發展是在十九世紀，那時候，數學物理問題的研究繁榮起來，許多數學家都對數學物理問題的解決做出了貢獻。這裡應該提一提法國數學家傅裡葉，他年輕的時候就是一個出色的數學學者。在從事熱流動的研究中，寫出了《熱的解析理論》，在文章中他提出了三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程。他的研究對偏微分方程的發展的影響是很大的。

偏微分方程的内容

偏微分方程是什麼樣的？它包括哪些内容？這裡我們可從一個例子的研究加以介紹。

弦振動是一種機械運動，當然機械運動的基本定律是質點力學的 F=ma，但是弦并不是質點，所以質點力學的定律并不适用在弦振動的研究上。然而，如果我們把弦細細地分成若幹個極小極小的小段，每一小段抽象地看作是一個質點，這樣我們就可以應用質點力學的基本定律了。

弦是指又細又長的彈性物質，比如弦樂器所用的弦就是細長的、柔軟的、帶有彈性的。演奏的時候，弦總是繃緊着具有一種張力，這種張力大于弦的重量幾萬倍。當演奏的人用薄片撥動或者用弓在弦上拉動，雖然隻因其所接觸的一段弦振動，但是由于張力的作用，傳播到使整個弦振動起來。

用微分的方法分析可得到弦上一點的位移是這一點所在的位置和時間為自變量的偏微分方程。偏微分方程又很多種類型，一般包括橢圓型偏微分方程、抛物型偏微分方程、雙曲型偏微分方程。上述的例子是弦振動方程，它屬于數學物理方程中的波動方程，也就是雙曲型偏微分方程。

偏微分方程的解一般有無窮多個，但是解決具體的物理問題的時候，必須從中選取所需要的解，因此，還必須知道附加條件。因為偏微分方程是同一類現象的共同規律的表示式，僅僅知道這種共同規律還不足以掌握和了解具體問題的特殊性，所以就物理現象來說，各個具體問題的特殊性就在于研究對象所處的特定條件，就是初始條件和邊界條件。

拿上面所舉的弦振動的例子來說，對于同樣的弦的弦樂器，如果一種是以薄片撥動弦，另一種是以弓在弦上拉動，那麼它們發出的聲音是不同的。原因就是由于“撥動”或“拉動”的那個“初始”時刻的振動情況不同，因此産生後來的振動情況也就不同。

天文學中也有類似情況，如果要通過計算預言天體的運動，必須要知道這些天體的質量，同時除了牛頓定律的一般公式外，還必須知道我們所研究的天體系統的初始狀态，就是在某個起始時間，這些天體的分布以及它們的速度。在解決任何數學物理方程的時候，總會有類似的附加條件。

就弦振動來說，弦振動方程隻表示弦的内點的力學規律，對弦的端點就不成立，所以在弦的兩端必須給出邊界條件，也就是考慮研究對象所處的邊界上的物理狀況。邊界條件也叫做邊值問題。

當然，客觀實際中也還是有“沒有初始條件的問題”，如定場問題（靜電場、穩定濃度分布、穩定溫度分布等），也有“沒有邊界條件的問題”，如着重研究不靠近兩端的那段弦，就抽象的成為無邊界的弦了。

在數學上，初始條件和邊界條件叫做定解條件。偏微分方程本身是表達同一類物理現象的共性，是作為解決問題的依據；定解條件卻反映出具體問題的個性，它提出了問題的具體情況。方程和定解條件合而為一體，就叫做定解問題。

求偏微分方程的定解問題可以先求出它的通解，然後再用定解條件确定出函數。但是一般來說，在實際中通解是不容易求出的，用定解條件确定函數更是比較困難的。

偏微分方程的解法還可以用分離系數法，也叫做傅裡葉級數；還可以用分離變數法，也叫做傅裡葉變換或傅裡葉積分。分離系數法可以求解有界空間中的定解問題；分離變數法可以求解無界空間的定解問題。還可以用拉普拉斯變換法去求解一維空間的數學物理方程的定解，對方程實行拉普拉斯變換可以轉化成常微分方程，而且初始條件也一并考慮到，解出常微分方程後進行反演就可以了。

應該指出，偏微分方程的定解雖然有以上各種解法，但是我們不能忽視由于某些原因有許多定解問題是不能嚴格解出的，隻可以用近似方法求出滿足實際需要的近似程度的近似解。

常用的方法有變分法和有限差分法：變分法是把定解問題轉化成變分問題，再求變分問題的近似解；有限差分法是把定解問題轉化成代數方程，然後用計算機進行計算；還有一種更有意義的模拟法，它用另一個物理的問題實驗研究來代替所研究某個物理問題的定解。雖然物理現象本質不同，但是抽象地表示在數學上是同一個定解問題，如研究某個不規則形狀的物體裡的穩定溫度分布問題，在數學上是拉普拉斯方程的邊值問題，由于求解比較困難，可作相應的靜電場或穩恒電流場實驗研究，測定場中各處的電勢，從而也解決了所研究的穩定溫度場中的溫度分布問題。

随着物理科學所研究的現象在廣度和深度兩方面的擴展，偏微分方程的應用範圍更廣泛。從數學自身的角度看，偏微分方程的求解促使數學在函數論、變分法、級數展開、常微分方程、代數、微分幾何等各方面進行發展。從這個角度說，偏微分方程變成了數學的中心。

本文經允許轉載于技術鄰，更多精彩内容見技術鄰官網

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!