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式子√a(a≥0)叫二次根式，二次根式的性質是根式化簡的依據，而化二次根式為最簡根式，又是根式運算的基礎。

最簡二次根式、同類二次根式是二次根式中的重要概念，因為二次根式的加減，實質就是合并同類二次根式。

利用二次根式的乘除法則來化簡、計算是中考命題的熱點，着重考查同學們對有關法則的靈活運用能力。

運用二次根式性質解題時，既要注意每一性質成立的條件，又要學會性質的“正用”與“逆用”

特别地，字母因式從根号内移到根号外或從根号外移到根号内時，必須考慮字母因式隐含的符号。二次根式的除法一般要通過分母有理化來進行，利用平方差公式找出分母有理化因式是常用的方法，如:(√a √b)(√a-√b)=a-b；(a √b)(a-√b)=a2-b。

閱讀材料：黑白雙雄、縱橫江湖；雙劍合璧，天下無敵。這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個人合在一起，取長補短，威力無比。在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”。如

(2 √3)(2-√3)=1，(√5 √2)(√5-√2)=3。

它們的積不含根号，我們說這兩個二次根式互為有理化因式，其中一個是另一個的有理化因式。于是，二次根式除法可以這樣理解：

如:1/√3=1×√3/√3×√3=√3/3，

2 √3/2-√3=(2 √3)(2 √3)/(2-√3)(2 √3)

=7 4√3

像這樣，通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化。解決問題：

⑴ 4 √7的有理化因式是( )，2/3√2分母有理化得( )。

⑵ 計算：

①1/2 √3 √27-6√1/3；

②1/1 √2 1/√2 √3 1/√3 √4 …… 1/√2003 √2004；

⑶ 已知x=√3-1/√3 1，y=√3 1/√3-1，求x4 y4的值。

解:⑴ 答案:4-√7，√2/3.

⑵ ①分母有理化，得

2-√3 √27-6×√3/3

化簡得

2-√3 3√3-2√3

合并同類二次根式，得2，

所以原式=2。

②分母有理化，得

√2-1 √3-√2 √4-√3 ……√2004-√2003

合并同類二次根式，得√2004-1

所以原式=2√501-1.

⑶由已知可得

ⅹ y=√3-1/√3 1 √3 1/√3-1

對等式右邊通分得

(√3-1)2 (√3 1)2/(√3 1)(√3-1)

展開得

3-2√3 1 3 2√3 1/3-1

計算得:ⅹ y=4。

由已知還可得

ⅹy=√3-1/√3 1×√3 1/√3-1

約分得:xy=1

待求式ⅹ4 y4可化為

[(ⅹ y)2-2ⅹy]2-2(xy)2

将ⅹ y=4，ⅹy=1代入上式得194.

所以x4 y4=194.

此類題主要考查對材料中所給概念的理解和應用能力。

分母有理化是解決這類問題常用的方法，進行分母有理化的關鍵是确定分母的有理化因式，

例如本題第⑴問的第2個空，就是根據分母得到它的有理化因式√2/3.

一般地，√a的有理化因式是它本身√a,√a √b的有理化因式是√a-√b，确定分母的有理化因式是進行有理化的第一步，一定要确定第一步的正确，因此需要多加練習，加強運用和運算能力。

本題給出了分母有理化的概念，并給出了相關的問題，來考查對這一概念的理解和應用能力。隻要明确了分母有理化的實質本題也就不難求解了。

1、仔細閱讀材料，可知分母有理化的實質是

利用了平方差公式或完全平方式，将分母中的根式化為整式的，仿照例子，相信你能求解第(1)問；

2、第⑵問中的①和②兩式，都需先對待求式

進行分母有理化，然後再化簡即可；

3、第⑶問是一道已知求值類題目，直接代值，計算有些麻煩，不妨先對已知和待求式進行适當的變形後，再代入求值；

由已知先求出x y和xy的值，再将待求式進行變形，使其各個部分由x y和xy組成；

将待求式可變形為[(x y)2-2xy]2-2(xy)2，接下來代值求解即可。

運用二次根式性質解題時，既要注意每一性質成立的條件，又要學會性質的“正用”與“逆用”特别地，字母因式從根号内移到根号外或從根号外移到根号内時，必須考慮字母因式隐含的符号。

二次根式的除法一般要通過分母有理化來進行，利用平方差公式找出分母有理化因式是常用的方法，如:

(√a √b)(√a-√b)=a-b；(a √b)(a-√b)=a2-b。

二次根式的運算是在整式、分式運算的基礎上發展起來的，因此，恰當運用公式、分解因式、字母化等是二次根式運算中的常用技巧。

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