本文為“2022年第四屆數學文化征文活動

基于優化學生數學思維的高效課堂創建

——以等腰三角形的判定一課為例

作者：鄭林 王玉嬌

作品編号：007

【摘要】數學教學是培養學生數學思維能力的行為。課堂作為培養數學思維的場地，需要有向有序、高效整合，數學知識作為培養數學思維的載體，需要循序漸進、系統歸類。本課通過等腰三角形的判定方法的研究來實現這個目标，并注重學生的主體地位，滲透數學思想方法和發展數學核心素養。

【關鍵詞】等腰三角形判定；數學思維；課堂教學；核心素養

數學思維是數學學習的靈魂，數學思維具有高度抽象性，通過合理的教學模式進行深度挖掘，使得學生的自身數學思維和解決數學能力得以提升，實現數學知識的結構化。特别是初中學生，從具體思維向抽象思維過度的時期，往往會受到阻礙。教學中教師應通過靈動的教學設計來開啟學生受阻的思維。本文以人教版八年級上冊《13.3.1等腰三角形》第2課時——等腰三角形的判定為例，從課标命題分析、教學過程展示、教學思考改進三個方面來闡述。通過課前、課上、課後三個環節相扣，層次遞進的教學方式來實現教學主張。教師借助“高效整合-知識遷移-精設題型”的模式，讓學生實現“考點滲透-思維發散-鞏固提升”的學習目标。

1 課标解讀與命題趨勢

等腰三角形的判定是将三角形中角的關系轉化為邊的關系的一個重要途徑，也是證明線段相等的重要方法，在中考題型中也常見等腰三角形與其它知識點的融合。結合目前中考命題呈實踐性、開放性、探究性、創新性的趨勢。在教學時可以注重發揮學生的主體地位，學生通過畫圖操作、觀察、思考，注意探索發現與演繹推理的有機結合，将知識點與考點無縫銜接，高效完成教學目标同時有利于優化學生的思維、鍛煉學生的探究能力。

等腰三角是在軸對稱這一大單元的體系下，是軸對稱的升華和探索。等腰三角形的研究方法“定義-性質-判定”使得本節課既是學習新知，又是對已有研究方式的應用，為接下去等邊三角形的以及其他幾何圖形的學習提供類比依據。基于以上分析結合新課程标準以學生為本的指導思想，本節課應達成的教學目标為：（1）學生自主探究、發現并論證等腰三角形的判定方法；（2）學生能應用等腰三角形的判定進行證明和計算并會類比遷移。

2 教學示例與畫圖引入

2.1 本末倒置促生成——“用”以緻“學”

【課前布置】在等腰△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水污染了，隻留下一條底邊BC和一個底角∠C，請問，你有沒有辦法把原來的等腰三角形畫出來？

【設計思路】問題情境來源于人教版《等腰三角形的判定》這一課時的例3的改編，屬于判定定理的應用。但大部分老師在判定定理論證完畢再配套鞏固練習後，課時已經差不多結束，來不及進行畫圖的應用。如此設置既給予學生充足的思考空間，又不占用課堂時間還解決了無法進行畫圖應用的缺憾，可謂一箭三雕。

【學生展示】

方法1：畫BC邊上的垂直平分線，與∠C的一邊相交得到頂點A。

方法2：量出∠C度數，畫出∠B＝∠C， ∠B與∠C的邊相交得到頂點A。

分析：因為點A在線段垂直平分線上，由線段的垂直平分線性質我們得到AB=AC，所以△ABC為等腰三角形。故方法1是正确的。對于方法2，觀察學生畫圖的方法,發現畫圖的依據是在條件∠B=∠C下，線段AB和AC是否相等？

【設計思路】方法1對應上節課軸對稱圖形的知識點，有效考察學生對已學知識的掌握情況；方法2對應新授的知識點，利用問題情境使學生将實際問題轉化為數學模型,激發學生的學習興趣。兩種方法既承上啟下又融合呼應。

追問：需要論證嗎？怎麼論證？引導學生，寫出已知、求證并證明.

2.2 無中生有探新知——因“勢”制“宜”

已知：如圖1，在△ABC中，∠B＝∠C。求證：AB=AC

分析：（1）如何證兩條邊相等？（2）如何構兩個全等的三角形？

問題：等腰三角形的性質定理用了三種輔助線的添加方法，此題你能用幾種方法證明。

證法1：學生1.過點A作AD平分∠BAC交BC于D；△ABD≌△ACD（AAS），得證.

證法2：學生2.過點A作AD⊥BC，垂足為D。△ABD≌△ACD（AAS），得證.

證法3：另辟蹊徑，柳暗花明

有學生提出，取BC的中點D，連結AD，如圖2。學生小組讨論發現圖中條件給的是SSA，就放棄進一步推理。此時教師借機引導學生回顧在學習三角形全等時，SSA在什麼情況下能成立，以及觀察圖形的特征如何解題,中線分三角形兩部分的面積相等，引導學生關注全等法與面積法。

經點撥學生嘗試過點D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别為E、F。此輔助線隐含三種結論：1.兩直線的夾角為90°，為三角形全等提供條件；2.點到直線的距離，為角平分線的判定定理提供條件；3.三角形的高線，為三角形的面積關系提供條件。此時學生能通過證△BDE≌△CDF（AAS）得到DE=DF，BE=CF。再證Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）得到AE=AF，進一步得到AB=AC。

再引導學生觀察證△BDE≌△CDF（AAS）得到DE=DF，你還能得到什麼結論？1.根據角平分線的判定定理，可以得到AD平分∠BAC，進一步證△ABD≌△ACD（AAS），直接得到AB=AC。2.根據中點的性質以及三角形的面積關系，根據BD=CD得到，,則，可以得到AB=AC。

證法4：中點一現，倍長中線

通過以上的證明學生的學習積極性充分發揮出來，可以進一步引導學生，點D是中點，還能怎樣添加輔助線，學生想到中線倍長法，如圖4。延長AD至E，使DE=AD，連結BE。此時可證△BDE≌△CDA（SAS），則BE=AC，∠EBD＝∠C。引導學生再次觀察圖形，發現BD平分∠ABE，進而引導學生利用角平分線的性質定理和中點的性質以及三角形的面積關系進行證明。還可以如圖5，過點D作DF⊥AB，DG⊥BE，垂足分别為F、G，則DF=DG。根椐AD=DE，得到，則，可以得到AB=BE，進一步得到AB=AC。

引導學生通過中點（中點在角平分線上）向角的兩邊引垂線，此時中點具有雙重身份，用面積法和延長中線翻倍法進行證明，培養學生的深度思維，從“教會學生”走向“教慧學生”。

證法5：追本溯源，先人智慧

《幾何原本》是一部不朽的幾何基礎學著作，它呈現了平面幾何五大公設，被認為是曆史上最成功的教科書，是初中幾何學的重要教材。我們不妨引導學生一起來探索一下先人是如何來論證等腰三角形判定定理，感受一下古書的精華，将這些遠古的數學思想發揚光大。

設：在△ABC中，∠ACB=∠ABC。求證：AB=AC。

解：如右圖，假設AB≠AC，且AB>AC，在AB上取一點D，使DB=AC，連接DC，既然DB等于AC，而BC是公共邊，那麼DB、BC的對應邊AC、CB應相等，∠DBC=∠ACB，于是底邊DC便等于底邊AB，△DBC≌△ACB（SAS）,小三角形全等于大三角形，這是不成立的，因此AB不能不等于AC，所以AB等于AC。

【設計思路】歐幾裡得在《幾何原本》中對等角推等邊采用了矛盾證法——即反證法。這也是使用矛盾證法的第一命題。歐幾裡得常用矛盾法，使用此法，他并不為推斷新的幾何目标的存在而用來進行建設，而是用來證明他已經證明的幾何學目标的準确性。古書的論證方式也為我們開辟了一條用反證法論證的新思路。

【歸納】等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等。

符号語言：在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴AC＝AB

強調：1.學生通過觀察、思考、證明、歸納等腰三角形的判定方法，培養學生的證明能力，體會解決等腰三角形問題的常用輔助線是作對稱軸。2.教師強調此判定方法是在一個三角形中把角的相等關系轉化成邊的相等關系的重要依據。

【課堂測試】如圖6，AB=AD，∠B＝∠D，你能确定BC與DC的數量關系嗎？

【分析】學生剛看題目覺的是SSA型，感到BC與DC的數量關系無法确定。此時可引導學生再次觀察圖形，讓學生明确本圖形中還有什麼特征。如圖7，連結BD，根據等邊對等角，AB=AD，得到∠ABD＝∠ADB，根據角的和差，進一步得到∠CBD＝∠CDB，根據等角對等邊得到BC=DC，此時進一步引導學生觀察，當點C向上運動時，圖形發生變化如圖8與圖9，結論有沒有變？如圖8，當點C在BD上時，此時點C是否是BD的中點？引導學生從動态上去聯想圖形，得到圖10的情況，此時顯然滿足AB=AD，∠B＝∠D，但不能得出BC=DC。

在學生解決此題後，要引導學生歸納，要善于發現圖形的運動變化趨勢，以及變中不變的因素和變化中還存在的特殊情況如何處理。

【設計意圖】利用本題對線段和角相等證法作進一步的小結，要讓學生明确不隻全等可以論證，角平分線的性質和判定，垂直平分線的性質和判定以及等腰三角形的性質和判定同樣可以得到線段或角相等。

2.3 開放訓練助理解——以“題”說“理”

例1[取自教材78頁例2] 求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那麼這個三角形是等腰三角形。

【分析】此題首先在于能否根據命題作出圖形，題設中有兩個條件平行與平分，結論中有一個條件等腰。學生會因結論有等腰三角形，先畫出一個等腰三角形，此時學生就三角形一個外角的位置，會出現兩種情況的圖形如圖11與圖12。如圖11若取底角的外角平分線CD//AB，則可推出∠A=∠B=∠ACB，則△ABC為等邊三角形。此時，要引導學生進一步思考，若從題設入手又如何畫圖，先任意畫一個角的平分線，再做這個角的補角，在這個補角的邊上任取一點，過這點作直線與角平分線平行。教師引導學生畫圖，并寫出已知與求證。已知：如圖12，AD是△ABC的外角∠CAE的平分線，AD//BC。求證：AB=AC。

思考：将題目的題設和結論對調，是否成立？

【設計意圖】1.就地取材鞏固所學知識，體會運用等腰三角形的判定方法進行證明的方法。2.借助教材中的例題對判定定理進行鞏固和應用，分析後教師再引導學生總結證明兩條線段相等的最常用方法。3.對調命題的題設與結論，培養學生的逆向思維能力。最後歸納出等腰三角形、平行、角平分線三者“知二求一”的關系。

例2[取自教材例3] 已知等腰三角形底邊長為a,底邊上的高的長為h,求作這個等腰三角形

【設計意圖】學生發表自己的想法,教師總結學生的設想,給出正确的作法.讓學生掌握：已知底邊及底邊上的高求作等腰三角形這一重要作圖方法。

2.4 錦上添花固所學——達标測試

1.已知：如圖，AD//BC，BD平分∠ABC。求證：AB=AD。

總結：平分角 平行=等腰三角形

2.如圖，把一張長方形的紙沿着對角線折疊，重合部分是一個等腰三角形嗎？為什麼？

3 教學反思與教學改進

3.1 以生為本，找準教學着力點

本節課類比幾何圖形的研究方法，在判定定理的教學過程中首先利用畫圖還原等腰三角形契機，讓學生體會學習“等角對等邊”的迫切性和必要性，注重實用目的。再引導學生探究等腰三角形判定的證明方法，并發散思維、打破傳統嘗試從不可能的角度來證明，優化學生思維的同時培養學生的刨根問底的質疑精神，發展了嚴謹規範的邏輯推理能力。整節課圍繞以生為本的教學理念，因學生的需求而設計，順學生的思維而布疑，應學生的發展而拓展，讓學生在層層升華中提升數學素養。

3.2 優化思維，重視高效課堂生成

本課時承載的數學思維可以具體化為數學推理思維，它的發展貫穿于本節課的各個環節中。通過整合、重構例3的引入方式顯得簡單實用又意味深長，通過自主探究發展了學生的類比推理和歸納推理能力，采用多種論證方式提升了學生演繹推理能力。最後教材例2的應用，更是對平行線、角平分線、等腰三角形知識體系的串聯和完善。整個教學過程中都落實三種語言的轉換和表述，重視課本例題的銜接、應用與衍生。讓數學的智慧充滿整個教學過程，讓數學的價值流淌師生的心間。

3.3 提升境界，反思小結增值

課堂小結不僅僅是問學生學習了什麼，而是應該了解學生掌握了什麼，能應用本節課的知識解決什麼問題。其次，課堂的小結并不意味課堂的結束，相反如何進行課堂的延伸才是至關重要。課後鞏固訓練不在于“多”，而在于“精”和“貼”，一定要緊扣課堂教學内容，張弛有度，這樣才能使教學目标不流于形式，真正檢驗教學成果。

結語：初中數學優化學生思維的課堂創建最關鍵的點在于适合。适合的課堂教學策略既是銜接學生已有基礎與高層次思維的橋梁，也是搭建數學教學與數學素養的融合的平台。一節好的數學課不僅要牢牢把握數學的實用價值，高效優化學生思維，揭示數學學科本質，還要滲透數學思想方法，積累數學活動經驗，發展數學核心素養，教會學生以數學為工具促進全面學習。

【參考文獻】

[1]歐幾裡得.幾何原本[M].江蘇：江蘇人民出版社，2011.（3）:10-11.

[2]義務教育教科書.數學.八年級.上冊（2013.9版）[M].北京：人民教育出版社，2019.（11）：77-78.

*福清市教育科學研究“十四五”規劃 2021 年度規劃課題 “基于核心素養下的初中數學優化學生思維的課堂實踐研究”（立項編号：FQ2021GH046）的階段性研究成果；福清市教育科學研究“十四五”規劃 2021 年度專項課題“基于四元五環課堂深度教與學實踐研究”（立項編号：FQ2021ZX004）的階段性研究成果。

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