大家好！本文和大家分享一道1957年的高考數學真題。

1957年高考數學卷有正題和副題兩套，正題卷和副題卷的題型設置與1956年相同，同樣包括了5道大題共9道小題。這9道題全部是解答題，依然沒有現在常見的選擇題和填空題。

本文和大家分享的這道題是1957年高考數學正題卷第一大題的第三小題。題目：求證cot22°30'=1 √2(cot為餘切的符号)。這道題的難度并不大，當年考查的知識點是三角恒等變換，對于現在的學生來說也是很簡單的題目。

下面介紹三種證明方法。

22°30'不是常見的特殊角，所以需要先将其與常見特殊角聯系起來。很明顯，22°30'=22.5°=45°/2，所以可以考慮半角公式。常見的半角公式如下：

根據餘切的半角公式就可以得到：cot22°30'=cot(45°/2)=(1 cos45°)/sin45°，而cos45°和sin45°的值是已知的，代入即可得證。

當然，現在人教版課本已經删除了餘切，但是老師還是會講餘切的定義，所以現在學生做這道題也許要先算出tan22°30'，再求倒數。

另外，這道題即使記不住半角公式，通過二倍角公式也是可以得到答案的，因為二倍角餘弦公式可以反推出半角公式。

如上圖，構造一個等腰三角形ABC，使得AB=AC，且∠B=22°30'，然後延長BA，過點C作CD垂直BA的延長線于點D并設AB=AC=(√2)a。

在直角三角形ACD中，∠DAC=2∠B=45°，所以三角形ACD為等腰直角三角形。因為AC=(√2)a，所以DA=DC=a，從而得到BD=AB DA=(1 √2)a。

因為在直角三角形中，餘切的值等于鄰邊比對邊，所以在直角三角形BCD中，cotB=BE:CD=(1 √2)a:a=1 √2，即cot22°30'=1 √2。

如上圖，構造一個和解法二一樣的等腰三角形ABC，過點A作AF垂直BC于點F，過點A作∠BAE=∠B且交BC于點E，所以有AE=BE。

在直角三角形AEF中，∠AEF為三角形ABE的外角，所以∠AEF=2∠B=45°，所以三角形AEF為等腰直角三角形。

設AF=a，則AE=(√2)a，即BE=(√2)a，所以BF=BE EF=(1 √2)a。

在直角三角形ABF中，cotB=BF:AF=(1E√2)a:a=1 √2。即cot22°30'=1 √2。

解法一用的是簡單的三角恒等變換，解法二和解法三是構造含有22°30'的直角三角形，然後利用餘切定義即可求證。

這道題就和大家分享到這裡。

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