擲一枚均勻的硬币200次，出現100次正面朝上的概率為：

一般地，這裡的随機變量X服從二項分布X~B( 200 , 1/2 ). 對應的概率及分布如下：

二項分布的研究始于雅各布•伯努利(Jacob Bernoulli,1654-1705)。在《推測術》（1713）一書中，伯努利提出了通過"頻率來估計概率"的"大數定理"：

設m是n次獨立試驗中事件A發生的次數，且事件A在每次試驗中發生的為p，則對任意正數ε，有公式：

這為概率在實際中的應用提供了有力工具。因為很多時候某事件發生的概率是未知的，但是通過多次重複試驗，以頻率來估計概率，可行性很好。在知曉了單次事件發生的概率以後，接下來是研究多次重複實驗的二項分布的計算問題。當然，對于個别随機變量求值，通過公式（*）就可計算得到。但是實際運用中，（*）中的實驗次數n往往很大，而且需要對（*）在某區間内求和。怎麼處理呢？下一個大咖出場了。

棣莫弗（De Moivre，1667-1754）是18世紀法國著名數學家，1933年，他提出和證明了以下的棣莫弗中心極限定理：

中心極限定理一度在概率論研究中占據了核心地位，在棣莫弗的基礎上，以拉普拉斯為代表的數學家做出了更深入的研究。從現在的角度來看，（***）具有以下幾方面的重要意義。首先， 該定理的初衷是計算二項分布X∼B(n , 1/2)中， X 落在二項分布中心點E(X)=1/2·n周圍的概率，這隻需在原式基礎上稍作變化即可:

可得到伯努利大數定理（**）。

最後，也是最重要的一點，該定理說明了：二項分布的極限分布是正态分布。盡管棣莫弗時代并沒有正态分布的概念，但它的确以密度函數的形式在中心極限定理中出現了。這是正态分布的第一次登場，但一點也不閃亮，因為中心極限定理提供了一個近似計算二項分布的簡便算法，但其中蘊含的正态分布并沒有被獨立看待，也沒有像現在這樣的重要，甚至漸漸被遺忘。但是在另一個領域，正态分布正等待一個超級大咖的出現。

源于天文、航海、戰争等實際需要，測量必不可少。但受限于器材精度等原因，測量誤差無處不在。如何更好的減少誤差自古就是一個世界級難題。

17世紀以前多以多組測量數據的算術平均值來估計真值，到了18世紀在拉普拉斯等數學家的努力下有了一定的突破。最終在勒讓德和高斯手中得到一個系統的方法——最小二乘法。

高斯的最小二乘法因為與"正态分布"強強結合，而更勝勒讓德一籌。高斯的大緻思路是這樣的。

設一次測量得到了n個數據：a,b,c,...。 它們與真實值這間的誤差x分别為：x-a,x-b,x-c,...。高斯引入了下面的概率密度函數:

這是大多數人印象中正态分布的第一次出現。的确，高斯在誤差分析中強有力的使用了正态分布，它是如此的深刻和意義重大，以及影響深遠。數學家們将在高斯發現的這個強有力的工具下，将統計與概率帶入一個前所未有的深度。

正态分布在高斯及拉普拉斯的努力下，在誤差分析上取得了巨大的成功。從19世紀開始，數學家試圖将其應用拓展到更寬廣的領域。衆多探索者之中，第一個獲得重要成果的是比利時統計學家凱特勒 (Adolphe Quetelet, 1796-1874)。

凱特勒 (Adolphe Quetelet, 1796-1874)

我們知道，統計學最早可追溯到公元前，而概率論萌芽于中世紀。但是由于16世紀賭博的盛行和對機會獲勝的好奇，使得在費馬、惠更斯等數學家的努力下，概率論得到了前所未有的發展，可以說到了18世紀，概率論已經日趨成熟了。但是統計學卻進步很緩慢。直到19世紀，随着自然科學和社會科學中各類大數據的常态化，加之概率論的發展成熟，才為統計學的理論研究和實踐應用提供了條件。

首先，是統計學中抽樣調查的使用。拉普拉斯首先使用了代表性抽樣來估計人口數量，凱特勒沿用了拉普拉斯的方法和數據比例。但當時的抽樣調查=面臨很多的問題。比如，在衆多的我們并不知曉的個體中，應該選取哪些個體作為樣本？尤其在處理社會問題上，某一事件受到的影響因素往往很多，而又該把哪部分個體放在一起研究才會保證其"同質性"？在當時多少數學家認為不同質的個體放在一起研究意義是不大的。

在并沒有随機調查的方法指導下，凱特勒需要找到一個合适的工具來解決"同質性"問題。1823年，凱特勒訪問巴黎，深入學習了高斯正太誤差理論和拉普拉斯中心極限定理，并受此啟發而決定使用正态分布來處理"同質性"。即：凱特勒把一批數據是否充分好的拟合一個正态分布，作為該批數據是否同質的一個判斷依據。

凱特勒的這個方法，對于處理當時的較多社會學統計問題都取得了較好的拟合效果，以實踐為基礎，正态分布為利器，他一生寫了許多有關統計學方面的著作——《論人及其才能的發展》（1835）、《關于應用于道德科學、政治科學的概率論的書簡》（1846）等。同時，因為他的卓越貢獻而被統計學界稱為"近代統計學之父"、"國際統計會議之父"。

達爾文的表弟——高爾登（Calton，1822-1911）是凱特勒的超級粉絲。而凱特勒在社會統計學上取得的成功，啟發了高爾登将統計學引入到自然科學上的工作。

高爾登在1863年将正态分布應用于身高、考試成績等統計數據，發現拟合度都是很好的，因此，他也深信"于正态分布曲線拟合得好是數據同質性的可靠标志"。但同時，更多的統計數據研究也讓他産生了一些困惑。

如，他在考察親子兩代的身高數據時，發現它們居然遵循同一個正态分布。要知道，"受大量的影響不大的因素作用"是數據呈正态分布的條件 ，但是"遺傳"在親自兩代的形狀中占了主導因素。似乎在此産生了矛盾，經過多年的深入研究，高爾登用了一個"正态漏鬥"的虛拟裝置調和了這種矛盾。

如上圖，當釘子的排數n趨向于無窮大時，各槽内球數近似服從正态分布。現在在裝置的中間某處加一個橫闆将落下的小球截住，則落在橫闆上的小球依然服從正态分布。最後，将橫闆去掉，小球自然落下，這時會得到很多的小的正态分布。

高爾登借助這個實驗說明：1.一個大的正态分布可以由許多小的正态分布疊加而成。對應到"親自兩代身高"問題上，遺傳這個核心的影響因素，可以分解為許多個大量的影響不大的因素，這直接導緻親子兩代服從于同一個正态分布。2.個體同質性表面的背後是諸多"異質"成分的疊加。

這樣的研究振奮人心，高爾登進一步的将其運用到自然科學的統計研究上——人的肘長、身高，豌豆的性狀等等，并最後導緻了他關于回歸等重要統計學工具的發現。

總之，自從高斯在概率中引入"正态分布"這一概念以後，它首先在物理的誤差分析中扮演重要的角色，之後又被引入到社會科學和自然科學中，而到現在，它更是滲透到我們生活的方方面面。

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