一、費馬點的由來：

平面幾何中的費馬問題是十七世紀法國數學家、被譽為業餘數學家之王的皮埃爾·德·費馬（Pierre de Fermat,1601–1665）提出的一個著名的幾何問題。

時間追溯到1643年，在一封寫給意大利數學家和物理學家托裡拆利（Evangelista Torricelli,1608–1647)的私人信件中，費馬提出了下面這個極富挑戰性和趣味性的幾何難題，請求托裡拆利幫忙解答（也有一種說法是費馬本人實際上已經找到了這個問題的答案，他是為了挑戰托裡拆利才寫信向他“請教”的）：

給定不在一條直線上的三個點 A,B,C，求平面上到這三個點的距離之和最短的點的位置。

圖1

而托裡拆利沒有讓費馬失望成功地解決了費馬的問題。他給出的答案是：

對 △ABC 三條邊的張角都等于120°，即滿足∠APB =∠BPC =∠CPA = 120°的點 P（如下圖所示）就是到點 A,B,C 的距離之和最小的點。

圖2

後來人們就把平面上到一個三角形的三個頂點 A,B,C 距離之和最小的點稱為△ABC的費馬-托裡拆利點（Fermat-Torricelli point），也簡稱為費馬點（Fermat point）或托裡拆利點（Torricelli point）。

二、費馬點的解決方法：

那麼到目前為止費馬問題又有哪些解法呢？我們一起來看看

費馬問題又很多種解法，但是最簡單的還是純幾何法。

1.純幾何解法：

要用幾何方法解決費馬問題，一種思想是把問題中的三條線段 PA, PB, PC“加”在一起或者說拼接在一起，最好是把它們拼接成連接兩個定點的一條折線，這樣一來，因為兩點之間直線最短，就能很快地确定 PA PB PC 的最小值。利用旋轉變換能成功地把費馬問題中的三條線段以一種非常自然的方式“加到一起”。

圖3

隻要把△BPC繞點B旋轉60°（如上圖所示），設點P轉到了點P'，點C轉到了點C'，于是就有

PC = P'C'， PB = PP' （因為 △PBP' 是等邊三角形）

因此就有

PA PB PC = PA PP' P'C'

上式的右邊是連接點A和點C'的一段折線的距離，它一定大于或等于線段AC'的長度，所以我們就得到了不等式：

PA PB PC = PA PP' P'C' ≥ AC'

顯然，如果上面的不等式能取到等号，那麼這時候的點P就是到點 A, B, C 距離之和最小的點，也就是費馬點。

2.探讨與證明：

若僅用平面幾何和極少量解析幾何知識按下列提法讨論費馬問題，則由

定義1：在△ABC所在平面上找一點P，使PA PB PC的值最小。稱P為其最小點。

定義2：在△ABC中如果有一點P，使∠APB =∠BPC =∠CPA = 120°，則稱P為其費馬點。

定理：如果△ABC的三個内角均小于120°，則其最小點就隻能是費馬點；如△ABC有一個内角大于等于120°，則該内角的頂點就是最小點。

證明一：

對任意三角形來說最小點不在△ABC外部。

如果最小點在△ABC外部，則可歸納為下圖4（1）（含P在一邊延長線上 的情形），下圖4（2）兩種情形。

圖4

在圖4（1）中，顯然，PA PB PC>AB AC；

在圖4（2）中，顯然，PA PB PC>P'A P'B P'C以上均與P是最小點矛盾，即證。

證明二：

銳角三角形的最小點隻能是費馬點。

1.最小點不在三條邊上 。 （包括頂點）

假若最小點P在邊上，易知P必是某條邊上高的垂足。不妨設是BC邊上的高AP的垂足。

如圖5（1），以B為圓心，BP為半徑作圖，A,C必在園外，以A,C為焦點作一過P點的橢圓。
　　由于直線AP是QB的切線且是橢圓的割線，可在圓B上取到一點P’，使P’在橢圓内且在△ABC内，則P'B=PB，由橢園的軌迹定義

P'A P'C<PA PC
　　故：PA PB PC>P'A P'B P'C，這與假設P是最小點矛盾，即證。

2.最小點隻能是費馬點。

由以上證明知，銳角三角形的最小點P隻可能在三角形内部。

如圖5（2）所示：

圖5

設銳角△ABC的最小點為P，假若AP≥AB，則AP PB PB>AB BC

這與P是最小點矛盾，∴AP<AB

同理，AP<AC（且BP<AB，BP<BC，PC<AC，PC<BC）

以A為圓心，以AP為半徑作圓時，B,C兩點必在該圓外部。

再以B,C為焦點作一橢圓與圓A外切，切點必是P。若切點是另外一點P'，則P隻能在該橢圓外，這時PB PC>P'B P'C也與P為△ABC的最小點矛盾。

過P作圓和橢圓的公切線MN，則∠APM =∠APN=90°。

由橢圓切線性質，知∠MPB =∠NPC

∠APB =∠APM ∠MPB =∠APN ∠NPC =∠APC

同理可證：∠APB =∠BPC

故：∠APB =∠BPC=∠APC=120°

具有 以上特性的點稱為費馬點 。∴P是△ABC的費馬點，又由于銳角三角形的費馬點是存在且唯一，由同一性，銳角三角形的費馬點必是最小點。

證明三：

在△ABC中若最大角大于或等于90°而小于120°，則最小點也隻能是費馬點。

如圖6，不妨設90°≤ ∠B ≤120°，依據證明二可讓最小點P不在AC上，而若P在AB或BC上，則隻能是B點。

圖6

事實上，若最小點P是BC上而異于B的點，顯然有PA>BA，于是PA PB PB>BA BC，與P為最小點矛盾。然而B也不是最小點。

作出△ABC的費馬點P，延長PB到B'，适當選取B’點可使△AB’C的三内角都是銳角，則P也是△AB’C的費馬點，由證明二知P是△AB’C的最小點。

PA PB' PC<BA BB' BC

不等式兩邊同減BB'

得 PA PB PC<BA BC

B不是△ABC的最小點。

故最小點必在△ABC内部。再依照證明二的證明知，當90°≤ ∠B ≤120°時，最小點也隻能是費馬點P。

證明四：

在△ABC中若有一個内角大于或等于120°，則該角的頂點就是這個三角形的最小點。

如圖7，由證明三知，最小點不在AC邊上。若最小點在AB或CB邊上，則必是B點。

圖7

若最小點是△ABC内部的某點P，則仿照證明二的證明知∠APC=120°

但∠APC>∠ABC>120°，矛盾。

最小點必不在△ABC内部，故B點是最小點。

三、總結：

費馬點是一個著名的幾何極值問題，學習程度較好的同學可以認真思考思考。

定義：數學上稱，到三角形3個頂點距離之和最小的點為費馬點。它是這樣确定的：

1. 如果三角形有一個内角大于或等于120°，這個内角的頂點就是費馬點；

2. 如果3個内角均小于120°，則在三角形内部對3邊張角均為120°的點，是三角形的費馬點。

3. 費馬點與3個頂點連成的線段是溝通3點的最短路線，容易理解，這個路線是唯一的。我們稱這一結果為最短路線原理。

性質：費馬點有如下主要性質：

1． 費馬點到三角形三個頂點距離之和最小。

2． 費馬點連接三頂點所成的三夾角皆為120°。

3． 費馬點為三角形中能量最低點。

4． 三力平衡時三力夾角皆為120°，所以費馬點是三力平衡的點。

四、例題精講

例1.

解答：

例2.

解答：

中考真題再現：

例3.

解答：

變式訓練：

1、

2、

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