tft每日頭條

 > 教育

 > 高中數學橢圓求離心率

高中數學橢圓求離心率

教育 更新时间:2025-04-04 10:14:58

問題：設是橢圓

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）1

上一點，和

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）2

分别是點M與點

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）3

的距離。求證

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）4

，其中e是離心率。（人教版《數學》第二冊（上）P133）

橢圓上任一點M與焦點F1或F2的距離

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）5

，叫做橢圓的焦半徑，也稱為左焦半徑，為右焦半徑。

一、焦半徑的求解思路

思路1：由橢圓的定義有：

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）6

故隻要設法用

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）7

等表示出

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）8

（或

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）9

），問題就可迎刃而解。

由題意知

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）10

，

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）11

兩式相減得

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）12

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）13

聯立<1>、<2>解得：

在

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）14

與中，

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）15

前的符号不表示正、負，真正的正、負由

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）16

确定。

思路2：設焦點

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）17

則

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）18

，即

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）19

另有

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）20

<2>÷<1>得：

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）21

<1>、<3>聯立解得：

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）22

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）23

把<1>、<3>兩式左邊的兩個根式看成兩個未知數，構建方程組得解。

思路3：推敲

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）24

的溝通渠道，應從消除差異做起，根式中

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）25

理應代換。

由點M在橢圓上，易知

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）26

則

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）27

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）28

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）29

由

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）30

，知

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）31

故

同理

上述思路體現了先消元

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）32

轉換成關于的二次三項式，再化成完全平方式的思想。由a、e是常數與

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）33

，容易推出

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）34

（

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）35

時取得），

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）36

（

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）37

時取得）。

思路4：橢圓的第二定義為求焦半徑鋪設了溝通的橋梁。

如圖，作橢圓的左準線

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）38

，作MH⊥于H點

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）39

則

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）40

即

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）41

同理可求得：

應用橢圓的第二定義求焦半徑的優越性是将兩點

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）42

的距離等價轉化成平行于x軸的直線上點M、H的距離輕松得解，是上述四條思路中的最佳途徑。請你獨立探求焦點在y軸上的橢圓

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）43

上任一點的兩條焦半徑（

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）44

）。

二、焦半徑的應用

應用焦半徑公式易于分析橢圓上的點與焦點連成的線段，尤其是兩條焦半徑與焦距圍成的三角形，或是焦半徑與準線相關聯等問題。

例1. 在橢圓

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）45

上求一點，使它與兩個焦點的連線互相垂直。（人教版《數學》第二冊（上）P132）

解析：設所求點

由

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）46

得：

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）47

又

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）48

即

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）49

解得：

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）50

代入橢圓方程得：

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）51

故所求點M為（3，4），或（3，-4），或（-3，4），或（-3，-4）。

例2. 點P是橢圓

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）52

上一點，

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）53

是橢圓的兩個焦點，又點P在x軸上方，

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）54

為橢圓的右焦點，直線

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）55

的斜率為

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）56

，求

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）57

的面積。（人教版《數學》第二冊（上）P133）

解析：設點P的橫坐标為x，

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）58

由條件

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）59

，得：

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）60

依題意得：

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）61

所以

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）62

由

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）63

得：

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）64

故

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）65

例2也可先求直線方程

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）66

，與已知橢圓方程聯立，解二元二次方程組求出點P的縱坐标y，則

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）67

。

▍ 來源：綜合網絡

▍ 編輯：Wordwuli

▍ 聲明：如有侵權，請聯系删除；若需轉載，請注明出處。

,

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!
查看全部
上一页 下一页
什麼是班級優化大師有...
十大架空曆史熱血小說...

相关教育资讯推荐

热门教育资讯推荐

网友关注

關于
條款和條件 隱私政策 Cookie 設置
服務
登陸 注冊 聯系我們
tft每日頭條 美食 生活 職場 母嬰 時尚 科技 汽車
友情鏈接
zpostcode Recruit weather mreligion Yellowpages sport constellation shopping name game directory literature Word tour furnish Lottery tftnews lyrics News digital car dir Edu Finance
Copyright 2023-2025 - www.tftnews.com All Rights Reserved