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高中數學橢圓求離心率

教育 更新时间:2025-04-07 01:15:59

問題：設是橢圓

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）1

上一點，和

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）2

分别是點M與點

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）3

的距離。求證

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）4

，其中e是離心率。（人教版《數學》第二冊（上）P133）

橢圓上任一點M與焦點F1或F2的距離

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）5

，叫做橢圓的焦半徑，也稱為左焦半徑，為右焦半徑。

一、焦半徑的求解思路

思路1：由橢圓的定義有：

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）6

故隻要設法用

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）7

等表示出

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）8

（或

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）9

），問題就可迎刃而解。

由題意知

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）10

，

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）11

兩式相減得

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）12

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）13

聯立<1>、<2>解得：

在

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）14

與中，

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）15

前的符号不表示正、負，真正的正、負由

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）16

确定。

思路2：設焦點

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）17

則

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）18

，即

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）19

另有

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）20

<2>÷<1>得：

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）21

<1>、<3>聯立解得：

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）22

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）23

把<1>、<3>兩式左邊的兩個根式看成兩個未知數，構建方程組得解。

思路3：推敲

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）24

的溝通渠道，應從消除差異做起，根式中

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）25

理應代換。

由點M在橢圓上，易知

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）26

則

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高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）28

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）29

由

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）30

，知

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）31

故

同理

上述思路體現了先消元

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）32

轉換成關于的二次三項式，再化成完全平方式的思想。由a、e是常數與

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）33

，容易推出

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）34

（

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）35

時取得），

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）36

（

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）37

時取得）。

思路4：橢圓的第二定義為求焦半徑鋪設了溝通的橋梁。

如圖，作橢圓的左準線

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）38

，作MH⊥于H點

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）39

則

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）40

即

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）41

同理可求得：

應用橢圓的第二定義求焦半徑的優越性是将兩點

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）42

的距離等價轉化成平行于x軸的直線上點M、H的距離輕松得解，是上述四條思路中的最佳途徑。請你獨立探求焦點在y軸上的橢圓

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）43

上任一點的兩條焦半徑（

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）44

）。

二、焦半徑的應用

應用焦半徑公式易于分析橢圓上的點與焦點連成的線段，尤其是兩條焦半徑與焦距圍成的三角形，或是焦半徑與準線相關聯等問題。

例1. 在橢圓

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）45

上求一點，使它與兩個焦點的連線互相垂直。（人教版《數學》第二冊（上）P132）

解析：設所求點

由

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得：

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）47

又

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即

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）49

解得：

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）50

代入橢圓方程得：

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）51

故所求點M為（3，4），或（3，-4），或（-3，4），或（-3，-4）。

例2. 點P是橢圓

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）52

上一點，

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）53

是橢圓的兩個焦點，又點P在x軸上方，

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）54

為橢圓的右焦點，直線

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）55

的斜率為

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，求

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的面積。（人教版《數學》第二冊（上）P133）

解析：設點P的橫坐标為x，

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）58

由條件

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，得：

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）60

依題意得：

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）61

所以

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）62

由

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）63

得：

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）64

故

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）65

例2也可先求直線方程

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）66

，與已知橢圓方程聯立，解二元二次方程組求出點P的縱坐标y，則

高中數學橢圓求離心率（求橢圓的焦半徑）67

。

▍ 來源：綜合網絡

▍ 編輯：Wordwuli

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