散度和旋度是向量場的兩種度量，它們在很多應用中都非常重要。這兩者都很容易理解，隻需把向量場看成是液體或氣體的流動；也就是說，向量場中的每個向量都應該被解釋為一個速度向量。
倒三角符号
假設有一個三個變量的函數——比如說，房間裡的溫度：T(x, y, z)。我們想把“導數”的概念推廣到像T這樣的函數，它依賴于三個變量而不是一個變量。
梯度具有向量的形式：
括号中的項是向量微分算子，被稱為哈密頓算子或倒三角算子（nabla operator或 del operator）：
準确地說，哈密頓算子是一個作用于T的向量算子，而不是一個乘以T的向量。
可以看出，标量函數的梯度具有非常不同的物理意義。梯度具有以下一般屬性：
哈密頓算子作用的方式有三種：
散度
從哈密頓算子的定義出發，構建散度：
向量函數v的散度本身是一個标量。向量函數v的散度本身是一個标量。
“散度”的名字選擇得很好，因為∇（倒三角）⋅v是向量v從一個點散開（散度）的度量值。例如下圖1中的向量函數。（a）中函數的散度較大（箭頭指向外，是正散度）；（b）中函數的散度為零；（c）中的函數的散度也是正的。
想象一下站在池塘邊。在水面撒上一些木屑；如果木屑散開了，你就是把它們丢在正散度的點；如果它聚集在一起，則你是把它們丢在負散度點。這個模型中的矢量函數v是水的速度，這是一個二維的例子。
例：假設圖1中的函數為
計算散度，
旋度
根據哈密頓算子的定義，我們構造旋度：
注意，向量函數v的旋度，是一個向量。
“旋度”也是個好名字，因為∇（倒三角）× v是向量v圍繞一個點旋轉的度量。因此，圖1中的三個函數都具有零旋度，而圖2中的函數具有相當大的旋度，指向z方向（右手自然法則）。
再想象一下，站在池塘邊。你放個小紙船到池塘裡，如果紙船旋轉了，那麼你就是把它放在了一個非零旋度的點上。漩渦是一個旋度很大的區域。
例：假設函數如圖2所示
計算旋度
這些旋度指向 z方向。順便說一句，它們散度都是零。
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