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中心極限定理意味着什麼

科技更新时间:2024-12-29 13:54:48

老闆開會說，他想知道該市所有醫生的平均收入，老闆讓你談談你的想法。你說：首先應該從該市所有醫生中進行50次随機抽樣，每次抽取200人，則可以算出50個平均收入值，然後對這50個平均值再取平均值，根據中心極限定理，該平均值就會很接近于該市所有醫生的平均收入。

把例子中的數據廣義化，就能歸納出中心極限定理的概念。

中心極限定理：中心極限定理指的是給定一個任意分布的總體。每次從該總體中随機抽取 n個樣本，一共抽 m 次，然後把這 m 組抽樣分别求出平均值。這些平均值的分布近似服從正态分布。

1、下面對中心極限定理進行演示：

一日閑來無趣，你自己制作了六個紙團，分别寫着數字1-6，每次從六個紙團中抓取一個，一共抓取了1000次。因為每個紙團被抽中的概率是相等的，因此這個總體是服從均勻分布的，即6個數字出現的次數都在165次左右，該總體的均值為1/6×（1 2 3 4 5 6）=3.5。

中心極限定理意味着什麼（如何簡單理解并應用）1

圖1：總體分布圖

現在我們從模拟的結果中進行抽樣，抽取100組，每組10個樣本，這100組的均值分布大概如圖2：

中心極限定理意味着什麼（如何簡單理解并應用）2

圖2

換一種抽樣方式，還是從1000個總體中抽樣，抽取100次，但是每組的樣本量改為50個，100組的均值分布為圖3：

中心極限定理意味着什麼（如何簡單理解并應用）3

圖3

再把每組的樣本量改為100個，均值的直方圖為圖4：

中心極限定理意味着什麼（如何簡單理解并應用）4

圖4：均值直方圖

由上述例子可以看出：無論總體是什麼樣的分布（如所給例子，總體分布不是正态分布，而是均勻分布），依據上述過程進行多次抽樣，樣本統計量始終緊緊圍繞在總體參數周圍，并且是呈正态分布的。而且每次抽樣的樣本含量越多，正态性越明顯。

回到剛開始的例子，既然樣本統計量會始終圍繞在總體參數周圍，并且呈正态分布。那麼，我們用多次抽樣後得到的平均收入近似代替該市所有醫生的平均收入是合理可行的。#清風計劃#

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