整數分拆是數論中一個既古老又活躍的問題.把自然數n分成為不計順序的若幹個自然數之和

　　n=n1 n2 …＋nm（n1≥n2≥…≥nm≥1）的一種表示法，叫做n的一種分拆.對被加項及項數m加以一些限制條件，就得到某種特殊類型的分拆.早在中世紀，就有關于特殊的整數分拆問題的研究.1742年德國的哥德巴赫提出“每個不小于6的偶數都可以寫成兩個奇質數的和”，這就是著名的哥德巴赫猜想，中國數學家陳景潤在研究中取得了突出的成果.下面我們通過一些例題，簡單介紹有關整數分拆的基本知識.

一、整數分拆中的計數問題

　　例1 有多少種方法可以把6表示為若幹個自然數之和？

　　解：根據分拆的項數分别讨論如下：

　　①把6分拆成一個自然數之和隻有1種方式；

　　②把6分拆成兩個自然數之和有3種方式

　　6=5 1=4 2=3 3；

　　③把6分拆成3個自然數之和有3種方式

　　6=4 1 1=3 2 1=2 2 2；

　　④把6分拆成4個自然數之和有2種方式

　　6＝3＋1＋1＋1=2 2 1 1；

　　⑤把6分拆成5個自然數之和隻有1種方式

　　6=2 1 1＋1＋1；

　　⑥把6分拆成6個自然數之和隻有1種方式

　　6＝1 1 1 1 1 1.因此，把6分拆成若幹個自然數之和共有

　　1 3 3＋2 1 1=11種不同的方法.

　　說明：本例是不加限制條件的分拆，稱為無限制分拆，它是一類重要的分拆.

　　例2 有多少種方法可以把1994表示為兩個自然數之和？

　　解法1：采用有限窮舉法并考慮到加法交換律：

　　1994=1993 1=1＋1993

　　=1992 2=2＋1992

　　=…

　　=998＋996=996 998

　　=997 997

　　因此，一共有997種方法可以把1994寫成兩個自然數之和.

二、整數分拆中的最值問題

　　在國内外的數學競賽試題中經常出現與整數分拆有關的最大值或最小值的問題.

　　例5 試把14分拆為兩個自然數之和，使它們的乘積最大.

　　解：由例2可知，把14分拆成兩個自然數之和，共有7種不同的方式.對每一種分拆計算相應的乘積：

　　14=1＋13，1×13＝13；

　　14=2 12，2×12=24；

　　14=3＋11，3×11=33；

　　14=4＋10，4×10=40；

　　14=5＋9，5×9=45；

　　14=6 8，6×8=48；

　　14=7 7，7×7=49.

　　因此，當把14分拆為兩個7之和的時候，乘積（7×7=49）最大.

　　說明：本例可以推廣為一般性結論：“把自然數n≥2分拆為兩個自然數a與b（a≥b）之和，使其積a×b取最大值的條件是a=b或a-b=1（a＞b）”.事實上，假設a-b=1＋m（其中m是一個自然數），顯然n=a＋b=（a-1） （b＋1），而有（a-1）×（b＋1）＝a×b＋a-b-1＝a×b＋m＞a×b.

下面我們再研究一個難度更大的拆數問題.

　　問題：給定一個自然數N，把它拆成若幹個自然數的和，使它們的積最大.

　　這個問題與前面研究的兩個拆數問題的不同點是：問題中沒有規定把N拆成幾個自然數的和.這也正是這題的難點，使分拆的種類要增加許多.我們仍舊走實驗-觀察-歸納結論這條路.先選擇較小的自然數5開始實驗.并把數據列表以便比較.

結果：7拆分成2＋2 3時.其積12最大.

　　注意，分拆數中有4時，總可把4再分拆成2與2之和而不改變分拆的乘積.

　　實驗結果4：8拆分成2＋3 3時，其積最大.

　　實驗結果5：9拆分成3 3 3時，其積最大.

　　實驗結果6：10拆分成3 3 2＋2時，其積最大.

　　觀察分析實驗結果，要使拆分數的乘積最大，拆分數都由2與3組成，其形式有三種：

　　①自然數=（若幹個3的和）；

　　②自然數=（若幹個3的和） 2；

　　③自然數=（若幹個3的和） 2＋2.

　　因此，我們得到結論：把一個自然數N拆分成若幹個自然數的和，隻有當這些分拆數由2或3組成，其中2最多為2個時，這些分拆數的乘積最大.（因為2 2 2=3 3，2×2×2＜3×3，所以分拆數中2的個數不能多于2個.）

我們以上采用的“實驗-觀察-歸納總結”方法，在數學上叫做不完全歸納法.我國著名數學家華羅庚講過：難處不在于有了公式去證明，而在于沒有公式之前怎麼去找出公式.不完全歸納法正是人們尋找公式的重要方法之一.但是這種方法得出的結論有時會不正确，所以所得結論還需要嚴格證明.這一步工作要等到學習了中學的課程才能進行.

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