在萬有引力提供物體做圓周運動的向心力的公式

中，萬有引力公式和向心力公式中都有半徑r，但是半徑r表示的意義并不相同；前者表示的是引力半徑，後者表示的是軌道半徑；并且在很多情況下，引力半徑與軌道半徑的大小并不一定相等。下面就高中物理中涉及行星運動的圓軌道、橢圓軌道以及雙星運動中的引力半徑和軌道半徑作一說明。

引力半徑指産生萬有引力的兩個質點之間的距離；

軌道半徑指物體做圓周運動時物體到圓心之間的距離。

1.行星運動——環繞天體繞中心天體作圓周運動

中心天體對環繞天體的萬有引力完全提供向心力，即

此時引力半徑和軌道半徑相同。

2.行星運動——橢圓軌道

衛星在橢圓軌道上運動，引力半徑是衛星到地球中心的距離，而軌道半徑是該點的曲率半徑（在一條曲線上的某點可以找到一個和它内切的圓，這個圓的半徑就定義為曲率半徑），此時引力半徑與軌道半徑不同。

3.雙星運動

雙星之間的萬有引力提供各自做圓周運動的向心力，即

則此時引力半徑是雙星之間的距離，軌道半徑是雙星各自作圓周運動的半徑；引力半徑和軌道半徑并不相同。

典型例題：

1.（2021·福建省福州第一中學高一期末）有a、b、c、d四顆地球衛星，a還未發射，在地球赤道上随地球表面一起轉動，b處于地面附近近地軌道上正常運動，c是地球同步衛星，d是高空探測衛星，設地球自轉周期為24h，所有衛星均視為勻速圓周運動，各衛星排列位置如圖所示，則有（　　）

A．a的向心加速度等于重力加速度g

B．c在4h内轉過的圓心角是30度

C．b在相同時間内轉過的弧長最長

D．d的運動周期有可能是20h

2.(2021·重慶市第三十七中學改編)冥王星繞太陽的公轉軌道是個橢圓，公轉周期為T，質量為m，其近日點A到太陽的距離為a，遠日點C到太陽的距離是b，半長軸的長度為c，A、C兩點的曲率半徑均為ka（通過該點和曲線上緊鄰該點兩側的兩點作一圓，在極限情況下，這個圓就叫做該點的曲率圓，其半徑叫做該點的曲率半徑），如圖所示。若太陽的質量為M，萬有引力常量為G，忽略其他行星對它的影響及太陽半徑的大小，求：

（1）冥王星在A點的速度大小：

（2）冥王星在A、C兩點的速度大小之比。

3.（2022·全國·高三專題練習）宇宙中兩顆靠得比較近的恒星，隻受到彼此之間的萬有引力作用互相繞轉，稱為雙星系統。設某雙星系統A、B繞其連線上的某點O做勻速圓周運動，如圖所示，AO＞OB，則（　　）

A．星球A受到的引力一定大于星球B受到的引力

B．星球A的質量一定大于星球B的質量

C．星球A的角速度一定大于星球B的角速度

D．星球A的線速度一定大于星球B的線速度

參考答案：

1.C

a衛星處于地面上，萬有引力和支持力的合力提供向心力，則可以判斷加速度小于g；則A錯誤；

b、c、d衛星在地球萬有引力作用下繞地球作圓周運動，此時引力半徑等于軌道半徑；則

可知：

則可以判斷c衛星4個小時轉過的角度應該為60度，則B錯誤；b衛星的線速度最大，相同時間内轉過的弧長最長，則C正确；d的軌道半徑大于c的軌道半徑，則d的周期大于24h，則D錯誤。選C。

2.衛星在作橢圓運動過程中，引力半徑對應萬有引力，軌道半徑（曲率半徑）對應圓周運動；（1）由題意可知，在A點，引力半徑的大小為a，曲率半徑的大小為ka；萬有引力提供冥王星作圓周運動的向心力，則

則可知冥王星在A點的速度大小

（2）冥王星在C點引力半徑變為了遠地點到太陽的距離，即為b，C點曲率半徑仍為ka；則由萬有引力提供向心力可知

則可知冥王星在C點的速度大小

則可得冥王星在A、C兩點的速度大小之比

3.D

星球A、B之間的萬有引力提供它們做圓周運動的向心力，則引力大小相等；A、B兩星做圓周運動角速度相等；則A、C錯誤；由萬有引力提供向心力可知

又因為

則

即A的質量小于B的質量，故B錯誤；A的線速度大于B的線速度，則D正确。選D。

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