功能關系

做功的過程就是能量轉化的過程，做功是使能量發生轉化的手段，也是能量轉化的唯一量度，即W=ΔE或-ΔE。能量守恒和轉化定律是自然界最基本的定律之一。而在不同形式的能量發生相互轉化的過程中，功扮演着重要的角色。功和能的關系幾乎貫穿于整個物理學，是經典物理三大支柱之一。可以這麼說：能否正确、熟練地運用功能關系解題（包括動能定理、機械能守恒定律、功能原理等）是學生物理學習是否入門的重要标志，是教師判斷學生掌握這方面知識程度的試金石。

需要強調的是：功是一種過程量，它是力在位移上的積累；而能是一種狀态量，它與一個時刻相對應。兩者的單位是相同的（都是J），但不能說功就是能，也不能說“功變成了能”。 功是能量轉化的量度，功和能的關系，一是體現在不同的力做功，對應不同形式的能轉化，具有一一對應關系，二是做功的多少與能量轉化的多少在數值上相等．

一、物體克服重力、彈力、電場力的功等于重力勢能、彈性勢能、電勢能的變化，即-W= ΔEP，或者說重力、彈力、電場力的功等于重力勢能、彈性勢能、電勢能變化的負值即W= -ΔEP我們不妨稱其為勢能定理

二、合力所做的功等于動能的變化，合力所做的功是動能轉化的量度，即：

W合=ΔEk這就是動能定理。

三、一對滑動摩擦力所做的總功等于内能。即Wf=Q；一對靜摩擦力做的總功總等于零，即靜摩擦力做功隻能實現機械能的轉移而無法實現機械能的轉化！

四、物體機械能的增量由重力以外的其他力做的功來量度：W其=ΔE機，（W其表示除重力、彈力以外的其它力做的功），我們不妨稱其為機械能定理

這其實是機械能守恒定律的反面表達——機械能不守恒的條件：有其它力做功。隻有當W其=0時，說明隻有重力、彈力做功，系統的機械能才守恒，

ＥP EK=EP' EK'。當研究對象由多個物體組成時，往往根據是否“沒有摩擦和介質阻力”來判定機械能是否守恒。

五、機械能守恒定律：在隻有重力或彈力做功的物體系統内，動能與勢能可以互相轉化，而總的機械能保持不變．

表達式：mgh1＋mv12＝mgh2＋mv22

深刻理解：隻有重力做功對應着重力勢能的變化，同時重力的功又是合力的功，所以又同時對應着動能的變化，所以隻有重力做功時就實現了重力勢能和動能之間的相互轉化機械能保持不變。由此我們可以大膽推論得到第六點。

六、一種力做功必然對應着兩種能的相互轉化，且這兩種能之和保持不變。N種力做功必然對應着N 1種能的相互轉化，且這N 1種能之和保持不變。 1指的是：多的這一種能就是動能。

例：隻有電場力做功，電勢能和動能之和保持不變；電場力和重力同時做功時，電勢能、動能、重力勢能之和保持不變，即電勢能和機械能之和保持不變。

例1

(多選)(2019·廣東天河華南師大附中期末)如圖1所示，質量為m的小車在水平恒力F推動下，從山坡底部A處由靜止運動至高為h的B處，獲得的速度為v，AB的水平距離為s，重力加速度為g.下列說法正确的是( )

圖1

A．小車克服重力所做的功是mgh

B．合力對小車做的功是

C．推力對小車做的功是Fs－mgh

D．阻力對小車做的功是＋mgh－Fs

答案 ABD

解析 上升過程，重力做功為WG＝mgΔh＝mg(hA－hB)＝－mgh，故小車克服重力所做的功是mgh，故A正确；對小車從A運動到B的過程中運用動能定理得W＝mv2，故B正确；由動能定理得W推－mgh＋Wf＝mv2，解得W推＝mv2－Wf＋mgh，由于推力為恒力，故W推＝Fs，阻力對小車做的功是Wf＝mv2＋mgh－Fs，故C錯誤，D正确．

例2

(多選)如圖2所示，質量為M、長度為L的小車靜止在光滑水平面上，質量為m的小物塊(可視為質點)放在小車的最左端．現用一水平恒力F作用在小物塊上，使小物塊從靜止開始做勻加速直線運動．小物塊和小車之間的摩擦力為Ff，小物塊滑到小車的最右端時，小車運動的距離為x.此過程中，以下結論正确的是( )

圖2

A．小物塊到達小車最右端時具有的動能為(F－Ff)(L＋x)

B．小物塊到達小車最右端時，小車具有的動能為Ffx

C．小物塊克服摩擦力所做的功為Ff(L＋x)

D．系統産生的内能為Fx

答案 ABC

解析 由動能定理可得，小物塊到達小車最右端時的動能Ek物＝W合＝(F－Ff)(L＋x)，A正确；小物塊到達小車最右端時，小車的動能Ek車＝Ff x，B正确；小物塊克服摩擦力所做的功Wf＝Ff(L＋x)，C正确；系統産生的内能為Ff L，D錯誤．

例3

(多選)(2020·全國卷Ⅰ·20)一物塊在高3.0 m、長5.0 m的斜面頂端從靜止開始沿斜面下滑，其重力勢能和動能随下滑距離s的變化如圖中直線Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2.則( )

A．物塊下滑過程中機械能不守恒

B．物塊與斜面間的動摩擦因數為0.5

C．物塊下滑時加速度的大小為6.0 m/s2

D．當物塊下滑2.0 m時機械能損失了12 J

答案 AB

解析 由E－s圖象知，物塊動能與重力勢能的和減小，則物塊下滑過程中機械能不守恒，故A正确；由E－s圖象知，整個下滑過程中，物塊機械能的減少量為ΔE＝30 J－10 J＝20 J，重力勢能的減少量ΔEp＝mgh＝30 J，又ΔE＝μmgcos α·s，其中cos α＝＝0.8，h＝3.0 m，g＝10 m/s2，則可得m＝1 kg，μ＝0.5，故B正确；物塊下滑時的加速度大小a＝gsin α－

μgcos α＝2 m/s2，故C錯誤；物塊下滑2.0 m時損失的機械能為ΔE′＝μmgcos α·s′＝8 J，故D錯誤．

例4

．(能量守恒定律)(多選)(2019·湖南衡陽市第二次模拟)如圖6所示，一根輕彈簧一端固定在O點，另一端固定一個帶有孔的小球，小球套在固定的豎直光滑杆上，小球位于圖中的A點時，彈簧處于原長，現将小球從A點由靜止釋放，小球向下運動，經過與A點關于B點對稱的C點後，小球能運動到最低點D點，OB垂直于杆，則下列結論正确的是( )

A．小球從A點運動到D點的過程中，其最大加速度一定大于重力加速度g

B．小球從B點運動到C點的過程，小球的重力勢能和彈簧的彈性勢能之和可能增大

C．小球運動到C點時，重力對其做功的功率最大

D．小球在D點時彈簧的彈性勢能一定最大

答案 AD

解析 在B點時，小球的加速度為g，在BC間彈簧處于壓縮狀态，小球在豎直方向除受重力外還有彈簧彈力沿豎直方向向下的分力，所以小球從A點運動到D點的過程中，其最大加速度一定大于重力加速度g，故A正确；由機械能守恒可知，小球從B點運動到C點的過程，小球做加速運動，即動能增大，所以小球的重力勢能和彈簧的彈性勢能之和一定減小，故B錯誤；小球運動到C點時，由于彈簧的彈力為零，合力為重力G，所以小球從C點往下還會加速一段，所以小球在C點的速度不是最大，即重力的功率不是最大，故C錯誤；D點為小球運動的最低點，即速度為零，彈簧形變量最大，所以小球在D點時彈簧的彈性勢能最大，故D正确．

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