四點共圓的判定方法有很多，今天，我們隻簡單的介紹五種，并配上例題進行說明，

一、四點共圓五種判定方法：

1、對角互補法：若平面上四點連成四邊形的對角互補或一個外角等于其内對角，那麼這四點共圓；特殊情形——若一個四邊形有兩個對角都為90º，那麼該四邊形四個頂點共圓；

推論：同斜邊的直角三角形四點共圓。

2、同側共底邊三角形頂角相等法：若線段同側二點到線段兩端點連線夾角相等，那麼這二點和線段二端點四點共圓(同弧所對圓周角相等）

也可表述為：把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓。

3、中垂線法：連成的四邊形三邊中垂線交于一點，則這四點共圓．

證明：如圖,ABCD是連成的四邊形 其三邊ABCD DA的中垂線交于點O

因為OE是AB的中垂線 所以OA=OB（線段中垂線上任何一點到線段兩個端點距離相等）

同理 有 OA=OD OD=OC

即OA=OB=OC=OD（四個點到一定點的距離相等）

所以 A B C D四點共圓,圓心即連成的四邊形各邊中垂線的交點.

4、相交弦定理的逆定理：把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓；

5、割線定理的逆定理：或把被證共圓的四點兩兩連結并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓．（見例5）

二、具體方法、例題解析

2.1、對角互補法

例1、已知：如圖，O 是半圓的圓心，C、E 是圓上的兩點，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求證：CD=GF

2.2、同側共底邊三角形頂角相等法（應用較多）

例2、設 MN 是圓 O 外一直線，過 O 作 OA⊥MN 于 A，自 A 引圓的兩條直線，交圓于 B、C 及 D、E，直線 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q．

求證：AP=AQ．

證明：作 E 點關于 GA 的對稱點 F，連 FQ、FA，FC，

∵OA⊥MN，EF⊥OA，

則有∠FAP=∠EAQ，∠EAP=∠FAQ，FA=EA，

∵E，F，C，D 共圓

∴∠PAF=∠AFE=∠AEF=180°﹣∠FCD，

∵∠PAF=180﹣∠FAQ，

∴∠FCD=∠FAQ，

∴FCAQ 四點共圓，

∠AFQ=∠ACQ=∠BED，

在△EPA 和△FQA 中

∠PEA = ∠QFA

AF = AE

∠PAE = ∠QAF

∴△EPA≌△FQA，

∴AP=AQ．

注：證兩線段相等，一般考慮證所在的兩三角形全等．

例3、設 P 是平行四邊形 ABCD 内部的一點，且∠PBA=∠PDA．

求證：∠PAB=∠PCB．

方法思路： 利用平行四邊形的性質構造新的平行線，将條件中相等但分散的角集中起來。過 P 點平行于 AD 的直線，并選一點 E，使 PE=AD=BC，利用 AD∥EP，AD∥BC，進而得出 ∠ABP=∠ADP=∠AEP，得出 AEBP 共圓，即可得出答案．

證明：作過 P 點平行于 AD 的直線，并選一點 E，使 PE=AD=BC，

∵AD∥EP，AD∥BC．

∴四邊形 AEPD 是平行四邊形，四邊形 PEBC 是平行四邊形，

∴AE∥DP，BE∥PC，

∴∠ABP=∠ADP=∠AEP，

∴AEBP 共圓（一邊所對兩角相等）．

∴∠BAP=∠BEP=∠BCP，

∴∠PAB=∠PCB

例4、在銳角三角形ABC中，BE，CF是高，在BE、CF或其延長線上分别截取CP＝AB、BQ＝AC，分别過P、Q作PM垂直BC，QM垂直BC，M、N是垂足，求證：PM＋QN＝BC。

證明：過A作AD⊥BC交BC于D。

∵CF⊥AF、CD⊥AD，∴A、F、D、C共圓，

∴∠BAD＝∠PCM。

∵∠BAD＝∠PCM、AB＝PC、∠ADB＝∠CMP＝90°，

∴△ABD≌△CPM，∴BD＝PM。······①

∵AE⊥BE、AD⊥BD，∴A、E、D、B共圓，∴∠CAD＝∠QBN。

∵∠CAD＝∠QBN、AC＝QB、∠ADC＝∠BNQ＝90°，

∴△ACD≌△BQN，∴CD＝QN。······②

由①、②，得：PM＋QN＝BD＋CD，顯然有：BD＋CD＝BC，

∴PM＋QN＝BC。

2.3、割線定理的逆定理

例5、如圖，PC 切圓 O 于 C，AC 為圓的直徑，PEF 為圓的割線，AE、AF 與直線 PO 相交于 B、D．求證：AB=DC， BC=AD．

證明：作 CQ⊥PD 于 Q，連接 EO，EQ，EC，OF，QF，CF，

所以 PC²=PQ•PO（射影定理），

又 PC²=PE•PF，

所以 EFOQ 四點共圓，

∠EQF=∠EOF=2∠BAD，

又∠PQE=∠OFE=∠OEF=∠OQF，

而 CQ⊥PD，所以∠EQC=∠FQC，因為∠AEC=∠PQC=90°，

故 B、E、C、Q 四點共圓，

所以∠EBC=∠EQC= ∠EQF/2= ∠EOF/2=∠BAD，

∴CB∥AD，

易證△AOD≌△COB，所以 BO=DO，即四邊形 ABCD 是平行四邊形，

∴AB=DC，BC=AD．

好了，今天的四點共圓證明的方法就介紹到這裡，歡迎繼續關注，精彩還将繼續！

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