一、利用導數求瞬時值

某物理量A定義為A=△y/△x，

比如：速度v=△x/△t，加速度a=△v/△t，角速度ω=△θ/△t，電場強度E=-△Φ/△x，感應電動勢E=N△Φ/△t等等，凡是結構是A=△y/△x這種類型的，我們都可以采用類比的方法.

物理量A=△y/△x，若△x不趨近零時，是一個過程的平均值，反映在圖像上就是割線斜率；

物理量A=△y/△x，若△x→0，A的值為某時刻或某點的瞬時值，也就是△x→0的極限，

反映在圖像上就是切線的斜率.

①導數在運動學上的運用

示例1：某質點運動過程中位移x(單位m)和時間t(單位s)滿足表達式，x=5t³ 3t² 4t 2(m)，求：

①1s—3s内的平均速度

②2s時的瞬時速度

③2s時的加速度

【解析】

①1s—3s内的平均速度是割線斜率，

t=1s時，x=14m；

t=3s時，x=176m；

△x=162m；

1s—3s内的平均速度為81m/s.

②2s時的瞬時速度是切線斜率，瞬時速度的表達式就是位移對時間的導數，求得：

v=15t² 6t 4(m/s)

當t=2s時，v=76m/s.

③瞬時加速度的表達式就是速度對時間的導數，就是v-t圖的斜率，也就是x-t函數對時間t的二階導數.

求導得：a=30t 6(m/s²)

t=2s時，a=66m/s².

②導數在感應電動勢上的運用

示例2：如圖所示，兩根平行足夠長的金屬導軌固定在水平桌面上，導軌的端點P和Q用導線相連，兩導軌間的距離為L，磁場垂直于桌面向上，已知磁感強度B與時間的關系為B＝kt（k為大于零的常量）.在t＝0時刻，金屬杆緊靠在P、Q端，在外力作用下，杆從t＝0時刻開始以恒定的加速度a從靜止開始向導軌的另一端滑動，求在t時刻整個回路的感應電動勢大小.

這是感生和動生共存的情況，可以用法拉第電磁感應普适公式，E=n△Φ/△t，瞬時電動勢，就是求Φ(t)函數的導數.

Φ=BS=BLvt=ktL·½at²

E=kL·½at² ktL·at=3kLat²/2.

例題：如圖所示，KLMN是一個豎直的矩形導線框，全部處于磁感應強度為B的水平方向的勻強磁場中，線框面積為S，MN邊水平，線框繞某豎直固定軸以角速度ω勻速轉動。在MN邊與磁場方向的夾角到達30°的時刻（圖示位置），導線框中産生的瞬間電動勢e的大小是多少？标出線框此時電流的方向。已知線框按俯視的逆時針方向轉動。

【解析】從平行面開始計時的磁通量表達式為Φ=BSsinθ，t=0的初相位為π/6.

磁通量表達式應該修改為Φ=BSsin(θ π/6)，而θ=ωt，

Φ=BSsin(ωt π/6)

E=n△Φ/△t，求瞬時表達式，即求導數，

E=nBSωcos(ωt π/6)[t=0,n=1]

E=√3BSω/2

電流方向根據楞次定律判斷.

例題：紙面内兩個半徑均為R的圓相切于O點，兩圓形區域内分别存在垂直于紙面的勻強磁場，磁感應強度大小相等、方向相反，且不随時間變化。一長為2R的導體杆OA繞過O點且垂直于紙面的軸順時針勻速旋轉，角速度為ω。t＝0時，OA恰好位于兩圓的公切線上，如圖所示。若選取從O指向A的電動勢為正，下列描述導體杆中感應電動勢随時間變化的圖像可能正确的是（C）

【解析】

Φ=BS=B·θR²-½BR²sin2θ

=BR²(ωt-½sin2ωt)

Φ′(t)=BR²(ω-ωcos2ωt)

=2BR²ωsin²ωt.

E=nΦ′(t)=2BR²ωsin²ωt.

也可以用切割磁感線方法

③導數在電勢分布于某直線上的應用

示例3：某靜電場中的一條電場線與x軸重合，其電勢的變化規律如圖所示，在O點由靜止釋放一電子，電子僅受電場力的作用，則在-x₀～x₀區間内（BC）

A.該靜電場是勻強電場

B.該靜電場是非勻強電場

C.電子将沿x軸正方向運動，加速度逐漸減小

D.電子将沿x軸正方向運動，加速度逐漸增大

【解析】

值得注意的是電場強度E=-△Φ/△x有個負号；斜率為正，表示電場方向沿x負方向.

④導數在關聯加速度上的應用示例4：在一光滑水平面上放一個物體，人通過細繩跨過高處的定滑輪拉物體，使物體在水平面上運動，人以速度v₀，加速度a₀向左運動.當繩子與水平方向成θ角時，物體前進的瞬時速度v是多大和加速度a是多大？

【解析】

由速度關系，可以進而求出加速度之間的關系，不再同一直線上運動(涉及轉動)的兩物體，加速度關系不能類似于速度那樣的關系(a₀=a·cosθ).

v₀=v·cosθ，v=v₀/cosθ，(θ也會随時間而變化，這是一個複合函數)

a=dv/dt

也可以用加速度合成法求解.

⑤導數在電磁感應與電容器結合的應用

示例5：如圖，兩條平行導軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L。導軌上端接有一平行闆電容器，電容為C。導軌處于勻強磁場中，磁感應強度大小為B，方向垂直于導軌平面。在導軌上放置一質量為的金屬棒，棒可沿導軌下滑，且在下滑過程中保持與導軌垂直并接觸良好。已知金屬棒與導軌之間的動摩擦因數為μ，重力加速度大小為g。忽略所有電阻。讓金屬棒從導軌上端由靜止開始下滑，求：

（1）電容器極闆上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關系；

Q=CBLv

（2）金屬棒的速度大小随時間變化的關系.

二、利用導數求極值與單調性

示例：一木箱重為G，與地面間的動摩擦因數為μ，用斜向上的力F拉木箱，使之沿水平地面勻速前進，如圖所示.問角α為何值時拉力F最小？這個最小值為多大？

【解析】

受力分析

求cosα μsinα的最大值

利用導數得：

f′(α)=-sinα μcosα=0

α=arctanμ

把α代入即可求得F的最小值.

例題：如圖所示，相距2r的兩個等量同種正電上場強的最大值及位置.

【解析】

即求cos²θsinθ的最大值

令f(θ)=cos²θsinθ

在連續可導情況下

f'(θ)=cos³θ-2sin²θcosθ=0

cos²θ=2sin²θ

tanθ=√2/2θ=arctan(√2/2)

θ≈35.26°

示例：如圖所示，滑塊a和b的質量均為m，a套在固定豎直杆上，b放在地面上，a和b通過鉸鍊用剛性輕杆連接，輕杆的長度為L.輕杆初始在豎直方向，滑塊a受到擾動由靜止開始運動，不計一切摩擦，a和b可視為質點，重力加速度大小為g.在a下落的過程中，(BD)

并且分析a的速度如何變化，求解b的速度的最大值.

由系統機械能守恒得：

Va′(θ)=2sinθcos(1-cosθ) sin³θ

此導函數的值大于零，則Va（θ）為增函數，即Va一直在增大.

Vb′(θ)=sinθcosθ(3cosθ-2)

此導函數有零點，且V′(θ)先大于零，後小于零，Vb先增後減.

當Vb′(θ)=0時，Vb具有最大值

sinθcosθ(3cosθ-2)=0

cosθ=2/3代入Vb得：

一般性解法：

Vacosθ=Vbsinθ

當θ=90°時，cosθ=0，Vb=0

b的速度從0到0，b的速度先增後減，杆子對b先做正功，後做負功，根據數學零點定理，必定有某點不做功，b的速度在該點速度有最大值，此時杆子的力Fɴ=0，a的機械能最小，b的機械能最大，a的加速度為g，b的加速度為0，b對地面壓力為mg，此後a的加速度大于g，θ在增加，Va=Vbtanθ，在Vb增大的過程中，Va也在增大，在b減速過程中，杆子對b做負功，對a就做正功，a仍然加速，所以a一直在加速.

示例：在純電阻電路中，輸出功率和外電阻關系，當在電阻多大時，電源輸出功率最大.

隻需求R r²/R的增減性

令f(R)=R r²/R

對R求導得：f′(R)=1-r²·R⁻²

當f′(R)=1-r²·R⁻²=0時，

R＜r時，f′(R)＜0，f(R)為減函數，輸出功率函數為增函數，R＞r時，f′(R)＞0，f(R)為增函數，輸出功率函數為減函數，當R=r時，f′(R)=0，輸出功率最大.

三、利用導數求變化率

例題：下圖為一種早期發電機原理示意圖，該發電機由固定的圓形線圈和一對用鐵芯連接的圓柱形磁鐵構成，兩磁極相對于線圈平面對稱。在磁極繞轉軸勻速轉動過程中，磁極中心在線圈平面上的投影沿圓弧XOY運動（O是線圈中心），則（D）

A.從X到O，電流由E經G流向F，先增大再減小

B.從X到O，電流由F經G流向E，先減小再增大

C.從O到Y，電流由F經G流向E，先減小再增大

D.從O到Y，電流由E經G流向F，先增大再減小

【解析】

磁極中心經過O點正上方時，磁通量最大，在連續可導情況下，磁通量對時間的一階導數，也就是磁通量變化率為零，即感應電動勢為零.

例題：如圖所示，AOC是光滑的直角金屬導軌，AO沿豎直方向，OC沿水平方向，ab是一根靠立在導軌上（開始時b離O點很近）的金屬直棒，金屬直棒從靜止開始在重力作用下運動，運動過程中a端始終在AO上，b端始終在OC上.直到ab完全落在OC上，整個裝置放在一勻強磁場中，磁場方向垂直于紙面向裡，則ab棒在運動過程中（BD）

A.感應電流方向始終是b→a

B.感應電流方向先是b→a，後變為a→b

C.所受磁場力方向垂直于ab向上

D.所受磁場力方向先垂直于ab向下，後垂直于ab向上

【拓展】

感應電流什麼位置最小？

【解析】

x=Lsinθ，y=Lcosθ，S=xy/2

=½L²sinθcosθ=L²sin2θ/4

Φ=BS=BL²sin2θ/4

Φ′(θ)=BL²cos2θ/2

當Φ′(θ)=BL²cos2θ/2=0時，即θ=π/4時，E有最小值.

例題：質量為m的球從地面以初速度v₀豎直向上抛出，已知球所受的空氣阻力與速度大小成正比.下列圖象分别描述了球在空中運動的加速度a、速度v随時間t的變化關系和動能Ek、機械能E（選地面處重力勢能為零）随球距離地面高度h的變化關系，其中可能正确的是（C）

值得注意的是電阻的定義是R=U/I而不是△U/△I，因此不能用求導的方法求電阻.

附錄：

1.零點定理

如果函數y= f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0,那麼，函數y= f(x)在區間(a,b)内有零點，即至少存在一個c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)= 0的根。

2.一階導數增減性，二階導數凹凸性，三階導數看拐點。

連續可導函數的一階導數就是相應的切線斜率。一階導數大于0，則遞增；一階倒數小于0，則遞減；一階導數等于0，則不增不減。

而二階導數可以反映圖象的凹凸。二階導數大于0，圖象為凹；二階導數小于0，圖象為凸；二階導數等于0，不凹不凸。

結合一階、二階導數可以求函數的極值。當一階導數等于零，而二階導數大于零時，為極小值點；當一階導數等于零，而二階導數小于零時，為極大值點；當一階導數、二階導數都等于零時，為駐點。一階導數可以用來描述原函數的增減性。

二階導數可以用來判斷函數在一段區間上的凹凸性，f''(x)>0,則是凹的，f''(x)<0則是凸的。

三階導數用來找函數的拐點，拐點的意思是如果曲線f(x)在經過點(x₀,f(x₀))時，曲線的凹凸性改變了，那麼就稱這個點為曲線的拐點。

3.常用導數表

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