這是一篇拆開能寫好幾篇文章的内容，鑒于個人精力有限加之了解更多内容隻是錦上添花，在此大緻談一下垂面法的應用。

垂面法在很多學生認知裡是處理二面角問題的，原理很簡單，作一個二面角交線的垂面，垂面與交線的交點以及垂面與兩個平面的交線所組成的角即為二面角的平面角，相關圖示同學們可自己畫一下，這種方法的好處是什麼暫時不說，先談一下常規定義法和三垂線法求二面角的一些不太容易确定的地方。

若采用定義法作二面角的平面角，從交線上取一點，從這點出發分别向兩個面作垂線，這樣會面臨一個問題，即有時候其中一個面内的垂線的位置不好确定；若采用三垂線法從其中一個面上一點作另外一個平面的垂線，再作垂足和交線的垂線，這樣做可能會面臨垂足位置不好确定的問題，特别在側面上。

如果擴展一下，在立體幾何中有三類空間距離，分别是異面直線之間的距離，點到面的距離和面與面之間的距離，但無論哪種均需要轉化為點到點的距離，而後者的點即為前者投影的位置，因此空間距離依舊涉及點在面内垂足位置不好确定的問題。

結合上述兩種情況，垂面法不僅可以用來确定垂足位置的問題，還可以較為快捷的确定出線面角或者二面角平面角的問題，先給出兩種常見的确定點在面上垂足位置的情況：

原理很簡單，無非是面面垂直的性質定理，因此在解題中若要确定某點在某個平面投影的位置，可找到一個經過該點且與面垂直的平面，找到兩個面的交線，從該點作交線的垂線，垂足即為所求，這在處理線面角問題中經常用到。

第二種情況可簡化成對稱問題，立體幾何大多數為規則的幾何體，對稱現象随處可見，以下給出三道簡單但卻有代表性的案例：

這個題目憑感官就能确定出點A在平面SBC上的投影在AD上，但如果底面不再是等腰三角形，那麼投影位置就不太容易确定了，若采用垂面法，找到一個與平面ABC垂直且經過點A的平面，确定出兩平面的交線，從點A作交線的垂線，垂足即為點到平面投影位置，這種方法在任何幾何體内都使用，無論幾何體是否為規則幾何體。

平面APD和平面CPD的交線為PD，找出一個與PD垂直的平面即可，其中無非是确定異面直線垂直與否的問題，用三餘弦定理可輕松判定，因為CE⊥PD，從E點作PD的垂線，垂足為M，則經過C,E,M的平面與交線垂直，平面CEM與兩個面的交線所組成的角度即為∠EMC，求出對應的正弦值即可。

之前有專門發過一篇文章，鍊接為：就一個題，今天再拿出來複盤一下：

當時确定二面角平面角的方法可自行參考鍊接，但若用垂面法，交線為BN，從A點作AE⊥BN，作AH⊥MN，根據第一問求證可知BM⊥AH，所以AH⊥平面BMN，即AH⊥BN，因此過A,E,H三點的平面與BN垂直，二面角的平面角即為∠AEH。

上述解法看上去并沒有比定義法或者三垂線法簡單多少，但如果熟練掌握三餘弦定理，加之題目第一問中給定的垂直關系，這個平面還算是很容易确定出來的。

至于用垂面法确定空間距離，其實是對垂面法的延伸，高中階段的空間距離常用等體積法轉化，很少有直接求的情況，關于垂面法的更多使用方法和場景可自己體會。

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