在《極限理論的建立---極限理論形成曆程中的兩個困惑》我們談到，許多數學家曾經被無窮級數
1-1 1-1 1-1 ...
所困擾，現在借助極限表達就可以清晰地讨論這個問題了，先讨論一般的情況，令
a1 a2 a3 ...
是一個級數，用sn=a1 a2 a3 ... an表示這個級數的前n項的部分和，這樣我們就可以得到一個由前你項和構成的數列
s1,s2,s3,...
并且把無窮級數的問題轉化為數列極限的問題。如果存在一個數s，使得當n→∞時，sn→s，即s為數列{sn}的極限，則稱無窮級數“a1 a2 a3 ... ”是收斂的，否則稱這個級數是發散的。用這個定義容易驗證“π/4=1/1-1/3 1/5-1/7 1/9-1/11 1/13-1/15 ...”是收斂的。
下面讨論“1-1 1-1 1-1 ...”式中的無窮級數，由前n項和所形成的數列{sn}為
1，0，1，0，......
這個數列顯然是不收斂的，因為對任何的n都有sn-sn-1=1或者-1，這不滿足
“|an 1-an|≦|an 1-a| |an-a|<2ε” （1)
所示的必要條件。有了極限的語言，很容易就解決了曾經長時間困擾了許多大數學家的問題。
如果說上面的無窮級數的發散是顯然的，那麼，調和級數的發散性判斷就不那麼明顯了。一個級數被稱為調和級數，如果級數中任何一項的倒數都能表示為相鄰兩項倒數的平均，即
1/an=(1/an-1 1/an 1)/2
比如級數
1/1 1/2 1/3 1/4 ... (2)
是最平凡的調和級數。令sn表示前n項和，因為當n→∞時，sn-sn-1→0，因此數列{sn}滿足（1）式所示的數列收斂的必要條件，但是這個級數卻是不收斂的。下面的證明式瑞士數學界著名的伯努利家族中的一員雅各布.伯努利給出的。對于任意的n，由
1/(n 1) 1/(n 2) ... 1/n2>(n2-n)/n2=1-1/n
可以推導出
1/n 1/(n 1) ... 1/n2>1
這樣，當n趨于無窮大就意味着可以把（2）式所示的級數分割為無窮個組，而每組之和都大于1，因而（2）式的和為無窮大，級數是發散的。
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