初中數學"三線八角”基本圖形之中的同位角、内錯角、同旁内角的概念是基礎之中的基礎,既然是基礎知識,當然是重要知識,我們不要輕視它,好多同學不能正确認識這三種關系的角,導緻後續的學習中走了不少彎路,因為以後的幾何學習中時時離不開這三種關系的角,所以一開始就要把它弄清楚,搞明白,下面我們慢慢地辨析它們。
【幾個輔助概念】
1.三線八角:在同一平面内,任意三條不交于一點的直線中,有兩條直線被第三條直線所截構成了八個角,習慣上稱為三線八角.如圖:
2.截線:需要辨認位置關系的兩個角的邊所在的公共直線.
3.被截線.兩條直線被第三條直線所截,除截線外的另外兩條直線.
如上圖中,辨認∠4與∠5的位置關系時,∠4與∠5的邊所在的公共直線為L,則L稱為截線,∠4的另一邊在直線a上,∠5的另一邊在直線b上,則直線a,直線b稱為被截線.
【同位角,内錯角,同旁内角的概念】
需要說明的是,同位角,内錯角,同旁内角都指的是兩個角的位置關系,并不是說哪兩個角叫做同位角(或内錯角或同旁内角).辨認哪兩個角具有上邊三種位置關系的某種關系時,首先看這兩個角是否能找到截線,若找不到截線,則不具有上述三種位置關系,若找到截線之後再按定義進行辨析.
1.同位角:兩條直線被第三條直線所截,同時具有下面兩個條件時,這兩個角才是同位角關系,簡稱同位角.①兩個角位于截線的同側,②兩個角位于被截線的同一方(側).如圖①:
直線AB,直線CD分别與直線EF交于M,N兩點,∠1的兩條邊是ME與MB,∠5的兩條邊是NM與ND,邊ME與邊NM共有線為EF,所以EF是截線,而MB在AB上,ND在CD上,所以AB,CD是被截線,∠1與∠5既在截線EF的同右側,又在被截線AB,CD的同上方,具備兩個同上方,同右側的條件,所以∠1與∠5是同位角關系,習慣上稱∠1與∠5是同位角,絕不能認為∠1是同位角,∠5是同位角.圖①中∠2與∠6,∠3與∠7,∠4與∠8,也都是同位角.
具有同位角關系的兩個角,它們的邊構成的圖形如同字母"F"形狀.如下面四個圖中,∠M與∠N是同位角.
2.内錯角:兩條直線被第三條直線所截,同時具有下面兩個條件時,這兩個角是内錯角關系,簡稱内錯角.①兩個角位于截線的兩(異)側,②兩個角位于被截兩直線所圍區域内.如圖①,∠3的邊MN,與∠5的邊NM重合在直線EF上,所以EF是截線,∠3的另一邊MA在AB上,∠5的另一邊ND在CD上,所以AB,CD是被截線,∠3與∠5在截線EF的兩側(錯開),同時∠3與∠5在被截線AB,CD所圍區域内部,具備錯開,内部兩個條件,所以∠3與∠5是内錯角關系,習慣上稱∠3與∠5是内錯角,絕不能認為∠3是内錯角,∠5是内錯角,圖①中∠4與∠6也是内錯角,具有内錯角關系的角的邊構成的圖形如同字母"Z"的形狀,如下圖的∠M與∠N.
3.同旁内角:兩條直線被第三條直線所截,同時具有下面兩個條件時,這兩個角是同旁内角關系,簡稱同旁内角.①兩個角位于截線的同側,②兩個角在被截線所圍成的區域内部.如圖①,∠4的兩邊為MB,MN,∠5的兩邊為ND,NM,∠4的邊MN與∠5的邊NM重合在直線EF上,所以EF為截線,∠4的另一邊MB在直線AB上,∠5的另一邊ND在直線CD上,所以AB,CD是被截線,∠4與∠5在截線EF的同右側,又在被截線AB,CD所圍區域的内部,具備同側,内部兩個條件,所以∠4與∠5是同旁内角關系,習慣上稱∠4與∠5是同旁内角,絕不能認為∠4是同旁内角或∠5是同旁内角.圖①中∠3與∠6也是同旁内角.具有同旁内角關系的兩角其邊構成的圖形如同字母"U"的形狀,如下圖中的∠M與∠N.
明白了三種關系的角之後,下面通過例題鞏固一下.
1.如圖,∠1和∠2、∠3和∠4分别是由哪兩條直線被哪一條直線所截形成的?它們各是什麼角?
【解析】圖①中,∠1的邊DB與∠2的邊BD重合,則直線DB是截線,∠1的另一邊為DC,∠2的另一邊是BA,所以DC,BA兩線是被截線,同時看到∠1和∠2在截線DB的兩側錯開,在被截線DC與BA所圍成區域的内部,所以∠1和∠2是内錯角.∠3的邊DB與∠4的邊BD重合,則直線DB是截線,∠3的另一邊為DA,∠4的另一邊為BC,所以DA,BC兩線是被截線,同時看到∠3和∠4在截線DB的兩側錯開,在被截線DA與BC所圍成區域的内部,所以∠3和∠4是内錯角.
圖②中,∠1的邊CE與∠2的邊BC都在直線BC上,所以BC是截線,∠1的另一邊CD與∠2的另一邊BA是被截線,同時看到∠1和∠2都在截線BC的上方,又分别在被截線CD,BA的同右方,所以∠1和∠2是同位角.∠3的邊CA與∠4的邊AC重合,則直線AC是截線,∠3的另一邊CB與∠4的另一邊AB是被截線,同時∠3和∠4都在截線AC的同側,又在被截線CB和AB所圍區域的内部,所以∠3和∠4是同旁内角.
解:圖①中,∠1和∠2是直線AB與CD被直線DB所截形成的内錯角,∠3和∠4是直線AD與BC被直線DB所截形成的内錯角.圖②中,∠1和∠2是直線AB與CD被直線BC所截形成的同位角,∠3和∠4是直線AB與BC被直線AC所截形成的同旁内角.
2.試找出圖中與∠1是同位角的所有角,與∠1是内錯角的所有角,與∠1是同旁内角的所有角.
【分析】當圖形中的線較多時,可利用分離圖形法将圖形整理出有關"三線八角"的基本圖形,再分别進行識别.本題中∠1的兩邊AH,AG确定,以确定的兩線為基準,分別找出"第三線”構成"三線八角"的基本圖形,如下圖①②:
在圖①中,與∠1是同位角的有:∠GDQ(或∠GDC),∠MCH(或∠DCH),在圖②中與∠1是同位角的有:∠GEB(或∠GEP),∠EBH(或∠NBH).
在圖①中與∠1是内錯角的有:∠MDA,∠ACQ,在圖②中與∠1是内錯角的有:∠NEA,∠ABP.
在圖①中與∠1是同旁内角的有:∠ADC,∠ACD,在圖②中與∠1是同旁内角的有:∠AEB,∠ABE.
【總結】正确認識同位角、内錯角、同旁内角的關鍵是找準截線與被截線,然後再按定義中的兩個條件進行辨析.
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