一、常見的幾何最值問題：
1、如圖、已知直線 l 及點 A、B，在直線 l 上做點 P ，使 PA PB 最小。
圖（1）
當 P 、 A 、 B 三點共線時，PA PB 最小，最小值為 AB 。
依據：兩點之間的線段距離最短。
2、如圖、已知直線 l 及點 A、B，在直線 l 上做點 P ，使 PA PB 最小。
圖（2）
當 P 、 A 、 B' 三點共線時，PA PB 最小，最小值為 AB' 。
依據：兩點之間的線段距離最短。
3、如圖、已知直線 l 及點 A ，在直線 l 上作點 P ，使 PA 最小。
圖（3）
依據：垂線段最短。
4、如圖、已知直線 l 及點 A、B ，點 B 在直線 l 上，在直線 l 上做點 P ，使 PA 1/2PB 最小。
圖（4）
圖（5）
作法：
①過終點 B 在直線 l 下方作一條射線 BM ，使之與 BP 構成的角滿足 sina = 1/2 , a = 30° ；
②過起點 A 做該射線的垂線 AH ；
③該垂線與直線 l 的交點 P' 即為所求。
依據：當 A、P'、H 三點共線時，P‘A 1/2P'B 最小，最小值為 AH 。
二、典型例題：
例題、如圖1所示，在平面直角坐标系中，抛物線 y = -x^2 2x 3 與 x 軸交于 A、B 兩點，與 y 軸交于點 C ，點 D 是抛物線的頂點，點 P(3/2 ， 15/4）是抛物線上一點。
（1）點 A、B、C、D 的坐标分别是多少？
（2）如圖2，M 為 y 軸上一動點，求 BM DM 最小值及此時點 M 的坐标。
（3）如圖3，M 為 y 軸上一動點，N 為抛物線對稱軸上一動點，且 MN⊥y軸，求 PN MN BM 的最小值。
圖（6）
圖（7）
圖（8）
解：
（1）A（-1,0）； B（3,0）； C（0,3）；D（1,4）。
（2）
圖（9）
（3）
圖（10）
三、總結：
1、2個原理： ①兩點之間，線段最短；②垂線段最短。
2、2種手段： ①軸對稱；②平移。
3、1種思想：轉化的思想。
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