數學培優——軸對稱變換與等腰三角形

軸對稱變換與等腰三角形具有密切的關系，這是因為等腰三角形本身是軸對稱圖形，而以對稱軸上任何一點與對稱兩點為頂點的三角形是等腰三角形．因此，在等腰三角形條件下要注意發揮軸對稱性的作用；在進行軸對稱變換中要注意發現和利用等腰三角形的性質．請看：

例1　如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD是∠B的平分線.

求證：AD＋BD＝BC．

分析與解：由于角平分線是角的對稱軸，而BD是∠B的平分線，故作點A關于BD的對稱點E，則點E落在BC上.

連接DE，則△ABD與△EBD關于BD對稱，

所以AD＝DE，∠DEB＝∠A＝100°，

所以∠DEC＝80°．

由AB＝AC及∠A＝100°，得∠C＝40°，

所以∠EDC＝60°．

在∠CDE内部作∠CDF＝40°，DF交CE于F，

則∠DFE＝80°＝∠DEF，

從而DE＝DF＝CF；

又易知∠BDF＝80°＝∠BFD，

從而BD＝BF，

所以AD＋BD＝CF＋BF＝BC．

例2 如圖2，已知等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分線交AC于D.

求證：AB＋AD＝BC.

分析與解：由于角平分線是角的對稱軸，而BD是角平分線，故将△ABD沿BD翻折到△EBD，

則點E在BC上，AB＝BE，AD＝DE，∠BED＝∠A＝90°.

接下來隻須證明CE＝AD.

由∠DEC＝90°，∠C＝45°，

得∠EDC＝45°，

所以∠EDC＝∠C，CE＝DE＝AD，

所以AB＋AD＝BE＋CE＝BC.

例3　如圖3，△ABC中，∠ABC＝2∠A，CD是高．

求證：BC＋BD＝AD．

分析與解：考慮到CD是高，将△ACD沿CD翻折180°到△ECD，

則E落在AB的延長線上，且AD＝DE，∠A＝∠E，

又∠ABC＝2∠A，

所以∠ABC＝2∠E＝∠BCE＋∠E，

所以∠BCE＝∠E，

所以BC＝BE，

所以BC＋BD＝BE＋BD＝DE＝AD．

例4　如圖4，△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD是高，M是BC的中點．求證：DM＝AB/2．

分析與解：考慮到AD是高，将△ACD沿AD翻折180°到△AED，

則E落在AB的延長線上，且CD＝DE，∠C＝∠E，

又∠ABC＝2∠C，

所以∠ABC＝2∠E，

又∠ABC＝∠E＋∠BAE，

所以∠BAE＝∠E，

所以AB＝BE．

因為CM＝BM，

所以CD－CM＝DE－BM，

即DM＝（DB＋BE）－（DM＋DB）

＝（DB＋AB）－（DM＋DB）

＝AB－DM，

所以2DM＝AB，DM＝AB/2．

例5（2012甘肅蘭州市中考題）如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一個點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN＋∠ANM的度數為（ ）

A．130° B．120° C．110° D．100°

分析與解：欲求∠AMN＋∠ANM的度數，關鍵在于确定點M、N的位置．

由于M、N的位置使得△AMN周長最小，

即MA＋MN＋NA最小，

分别作點A關于BC的對稱點E，點A關于CD的對稱點F，

連接EF分别交BC于M，交CD于N．

則MA＝ME，NA＝NF，

從而△AMN的周長

＝MA＋MN＋NA＝ME＋MN＋NF，

問題轉化為：分别在BC、CD上确定點M、N，使得ME＋MN＋NF最小．

由于E、F是定點，當M、N都在直線E、F上時，

ME＋MN＋NF＝EF為最小，

因此，連接EF，分别交BC、CD于M、N，

這就是M、N的位置．

此時，∠MAE＝∠E，∠NAF＝∠F，

所以∠AMN＝2∠E，∠ANM＝2∠F，

所以∠AMN＋∠ANM＝2（∠E＋∠F）

＝2（180°－∠BAD）

＝2（180°－120°）＝120°．

選B．

例6 如圖6，等腰△ABC中，AB＝AC，AD是高.分别在AD和AC上求作一點P和Q，使得PQ＋PC最小.

分析與解：由于AD是△ABC的對稱軸，點B、C關于AD對稱，

故先把點C變換到點B，即連接PB，

則PB＝PC，從而PQ＋PC＝PQ＋PB≥BQ，

因此，問題轉化為确定P、Q的位置，使得BQ最小.

由于Q是AC上的動點，根據“垂線段最短”可知，

過點B作AC的垂線交AC于一點，

該點就是所求作的點Q（即作AC上的高），

BQ與AD的交點就是點P的位置.

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