1. 一副撲克牌共54張，最上面的一張是紅桃K。如果每次把最上面的12張牌移到最下面而不改變它們的順序及朝向，那麼，至少經過多少次移動，紅桃K才會又出現在最上面？

解：因為[54，12]=108，所以每移動108張牌，又回到原來的狀況。又因為每次移動12張牌，所以至少移動108÷12=9（次）。

2. 爺爺對小明說：“我現在的年齡是你的7倍，過幾年是你的6倍，再過若幹年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爺爺和小明現在的年齡嗎？

解：爺爺70歲，小明10歲。提示：爺爺和小明的年齡差是6，5，4，3，2的公倍數，又考慮到年齡的實際情況，取公倍數中最小的。（60歲）

3. 某質數加6或減6得到的數仍是質數，在50以内你能找出幾個這樣的質數？并将它們寫出來。

解：11，13，17，23，37，47。

4. 在放暑假的8月份，小明有五天是在姥姥家過的。這五天的日期除一天是合數外，其它四天的日期都是質數。這四個質數分别是這個合數減去1，這個合數加上1，這個合數乘上2減去1，這個合數乘上2加上1。問：小明是哪幾天在姥姥家住的？

解：設這個合數為a，則四個質數分别為（a－1），（a＋1），（2a－1），（2a＋1）。因為（a－1）與（a＋1）是相差2的質數，在1～31中有五組：3，5；5，7；11，13；17，19；21，31。經試算，隻有當a＝6時，滿足題意，所以這五天是8月5，6，7，11，13日。

5. 有兩個整數，它們的和恰好是兩個數字相同的兩位數，它們的乘積恰好是三個數字相同的三位數。求這兩個整數。

解：3，74；18，37。

提示：三個數字相同的三位數必有因數111。因為111＝3×37，所以這兩個整數中有一個是37的倍數（隻能是37或74），另一個是3的倍數。

6. 在一根100厘米長的木棍上，從左至右每隔6厘米染一個紅點，同時從右至左每隔5厘米也染一個紅點，然後沿紅點處将木棍逐段鋸開。問：長度是1厘米的短木棍有多少根？

解：因為100能被5整除，所以可以看做都是自左向右染色。因為6與5的最小公倍數是30，即在30厘米處同時染上紅點，所以染色以30厘米為周期循環出現。一個周期的情況如下圖所示：

由上圖知道，一個周期内有2根1厘米的木棍。所以三個周期即90厘米有6根，最後10厘米有1根，共7根。

7. 某種商品按定價賣出可得利潤960元，若按定價的80％出售，則虧損832元。問：商品的購入價是多少元？

解：8000元。按兩種價格出售的差額為960＋832=1792（元），這個差額是按定價出售收入的20％，故按定價出售的收入為1792÷20％=8960（元），其中含利潤960元，所以購入價為8000元。

8. 甲桶的水比乙桶多20％，丙桶的水比甲桶少20％。乙、丙兩桶哪桶水多？

解：乙桶多。

9. 學校數學競賽出了A，B，C三道題，至少做對一道的有25人，其中做對A題的有10人，做對B題的有13人，做對C題的有15人。如果二道題都做對的隻有1人，那麼隻做對兩道題和隻做對一道題的各有多少人？

解：隻做對兩道題的人數為（10＋13＋15） -25 -2×1＝11（人），隻做對一道題的人數為25－11－1=13（人）。

10. 學校舉行棋類比賽，設象棋、圍棋和軍棋三項，每人最多參加兩項。根據報名的人數，學校決定對象棋的前六名、圍棋的前四名和軍棋的前三名發放獎品。問：最多有幾人獲獎？最少有幾人獲獎？

解：共有13人次獲獎，故最多有13人獲獎。又每人最多參加兩項，即最多獲兩項獎，因此最少有7人獲獎。

11. 在前1000個自然數中，既不是平方數也不是立方數的自然數有多少個？

解：因為312＜1000＜322，103＝1000，所以在前1000個自然數中有31個平方數，10個立方數，同時還有3個六次方數（16，26，36）。所求自然數共有 1000－（31＋10）＋3＝962（個）。

12. 用數字0，1，2，3，4可以組成多少個不同的三位數（數字允許重複）？

解：4*5*5=100個

13. 要從五年級六個班中評選出學習、體育、衛生先進集體各一個，有多少種不同的評選結果？

解：6*6*6=216種

14. 已知15120=24×33×5×7，問：15120共有多少個不同的約數？

解：15120的約數都可以表示成 2a×3b×5c×7d的形式，其中a=0，1，2，3，4，b=0，1，2，3，c=0，1，d=0，1，即a，b，c，d的可能取值分别有5， 4， 2， 2種，所以共有約數5×4×2×2=80（個）。

15. 大林和小林共有小人書不超過50本，他們各自有小人書的數目有多少種可能的情況？

解：他們一共可能有0～50本書，如果他們共有n本書，則大林可能有書0～n本，也就是說這n本書在兩人之間的分配情況共有（n＋1）種。所以不超過 50本書的所有可能的分配情況共有1＋2＋3…＋51=1326（種）。

16. 在右圖中，從A點沿線段走最短路線到B點，每次走一步或兩步，共有多少種不同走法？（注：路線相同步驟不同，認為是不同走法。）

解：80種。提示：從A到B共有10條不同的路線，每條路線長5個線段。每次走一個或兩個線段，每條路線有8種走法，所以不同走法共有　8×10=80（種）。

17.有五本不同的書，分别借給3名同學，每人借一本，有多少種不同的借法？

解：5*4*3=60種

18．有三本不同的書被5名同學借走，每人最多借一本，有多少種不同的借法？

解：5*4*3=60種

19. 恰有兩位數字相同的三位數共有多少個？

解：在900個三位數中，三位數各不相同的有9×9×8＝648（個），三位數全相同的有9個，恰有兩位數相同的有900—648—9=243（個）。

20. 從1，3，5中任取兩個數字，從2，4，6中任取兩個數字，共可組成多少個沒有重複數字的四位數？

解：三個奇數取兩個有3種方法，三個偶數取兩個也有3種方法。共有 3×3×4！=216（個）。

21. 左下圖中有多少個銳角？

解：C(11,2)=55個

22. 10個人圍成一圈，從中選出兩個不相鄰的人，共有多少種不同選法？

解:c(10,2)-10=35種

23. 一牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周。那麼可供21頭牛吃幾周？

解：将1頭牛1周吃的草看做1份，則27頭牛6周吃162份，23頭牛9周吃207份，這說明3周時間牧場長草207-162＝45（份），即每周長草15份，牧場原有草162－15×6＝72（份）。21頭牛中的15頭牛吃新長出的草，剩下的6頭牛吃原有的草，吃完需72÷6＝12（周）。

24. 有一水池，池底有泉水不斷湧出。要想把水池的水抽幹， 10台抽水機需抽 8時，8台抽水機需抽12時。如果用6台抽水機，那麼需抽多少小時？

解：将1台抽水機1時抽的水當做1份。泉水每時湧出量為

（8×12-10×8）÷（12-8）=4（份）。

水池原有水（10-4）×8＝48（份），6台抽水機需抽48÷（6-4）=24（時）。

25. 規定a*b=(b＋a)×b，求(2*3)*5。

解：2*3=(3 2)*3=15

15*5=(15 5)*5=100

26. 1！ 2！ 3！ … 99！的個位數字是多少？

解：1！ 2！ 3！ 4！=1 2 6 24=33

從5！開始，以後每一項的個位數字都是0

所以1！ 2！ 3！ … 99！的個位數字是3。

27（1）．有一批四種顔色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各種信号。在200個信号中至少有多少個信号完全相同？

解：4*4*4=64

200÷64=3……8

所以至少有4個信号完全相同。

（2）在今年入學的一年級新生中有 370多人是在同一年出生的。試說明：他們中至少有2個人是在同一天出生的。

解：因為一年最多有366天，看做366個抽屜

因為370>366,所以根據抽屜原理至少有2個人是在同一天出生的。

28. 從前11個自然數中任意取出6個，求證：其中必有2個數互質。

證明：把前11個自然數分成如下5組

（1，2，3）（4，5）（6，7）（8，9）（10，11）

6個數放入5組必然有2個數在同一組，那麼這兩個數必然互質。

29. 小明去爬山，上山時每時行2.5千米，下山時每時行4千米，往返共用3.9時。小明往返一趟共行了多少千米？

30. 長江沿岸有A，B兩碼頭，已知客船從A到B每天航行500千米，從B到A每天航行400千米。如果客船在A，B兩碼頭間往返航行5次共用18天，那麼兩碼頭間的距離是多少千米？

解：800千米。　提示：從A到B與從B到A的速度比是5∶4，從A到B用

31. 請在下式中插入一個數碼，使之成為等式：

1×11×111= 111111

解答：91*11*111=111111

32．甲、乙、丙三數的和是100，甲數除以乙數與丙數除以甲數的結果都是商5餘1。問：乙數是多少？

解：設乙數是x，那麼甲數就是5x 1

丙數是5(5x 1) 1=25x 6因此x 5x 1 25x 6=10031x=93 x=3

所以乙數是3

33．12345654321×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1)是哪個數的平方

解：12345654321=111111的平方

1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1=36=6的平方

所以原式=666666的平方。

34.某劇院有25排座位，後一排比前一排多2個座位，最後一排有70個座位。問：這個劇院一共有多少個座位？

解：第一排有70-24*2=22個座位

所以總座位數是(22 70)*25/2 =1150

35. 某城市舉行小學生數學競賽，試卷共有20道題。評分标準是：答對一道給3分，沒答的題每題給1分，答錯一道扣1分。問：所有參賽學生的得分總和是奇數還是偶數？為什麼？

解：一定是偶數，因為每個人20道題得分都分别是奇數，20個奇數的和一定是偶數。每個人的得分都是偶數，所以無論有多少參賽學生，參賽學生的得分總和一定是偶數。

36. 可以分解為三個質數之積的最小的三位數是幾？

解：102=2*3*17

37. 兩個質數的和是39，求這兩個質數的積。

解：注意到奇偶性可以知道這2個質數分别是2和37

它們的乘積是2*37=74

38. 有1，2，3，4，5，6，7，8，9九張牌，甲、乙、丙各拿了三張。甲說：“我的三張牌的積是48。”乙說：“我的三張牌的和是15。”丙說：“我的三張牌的積是63。”問：他們各拿了哪三張牌？

解：63=7*1*9 所以丙拿的1，7，9

48=2*3*8 所以甲拿的2，3，8

4 5 6=15 因此乙拿的是4，5，6

39. 四個連續自然數的積是3024，求這四個數。

解：考慮末尾數字，1*2*3*4末尾是4

6*7*8*9末尾也是4其他情況下末尾都是011*12*13*14=24024太大6*7*8*9=3024剛好

所以這4個數是6，7，8，9

40. 證明：任何一個三位數，連着寫兩遍得到一個六位數，這個六位數一定能被7，11，13整除。

解：該數形如ABCABC=ABC*1001

1001=7*11*13

所以這個六位數一定能被7，11，13整除。

41．在1～100中，所有的隻有3個約數的自然數的和是多少？

解：4 9 25 49=87

42. 有一種電子鐘，每到正點響一次鈴，每過九分鐘亮一次燈。如果中午12點整它既響鈴又亮燈，那麼下一次既響鈴又亮燈是什麼時間？

解：[60,9]=180

180/60=3下次是下午3點鐘。

43. 有一個數除以3餘2，除以4餘1。問：此數除以12餘幾？

解：除以3餘2的數是2，5，8，11，14。。。。。。

除以4餘1的數是1，5，9，。。。。。。

所以此數除以12餘5

44. 把16拆成若幹個自然數的和，要求這些自然數的乘積盡量大，應如何拆？

解：16=3 3 3 3 2 2

乘積是3*3*3*3*2*2=324

45. 小明按1～ 3報數，小紅按1～ 4報數。兩人以同樣的速度同時開始報數，當兩人都報了100個數時，有多少次兩人報的數相同？

解：每12次作為一個周期

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

每個周期兩人有3次報的數一樣

100=12*8 4

所以兩個人有8*3 3=27次報的數相同。

46. 某自然數加10或減10皆為平方數，求這個自然數。

解：設這個數是x

x 10=m^2

x-10=n^2

m^2-n^2=20 (m n)(m-n)=20

m=6,n=4

所以x=6^2-10=26

47. 已知某鐵路橋長1000米，一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全下橋共用120秒，整列火車完全在橋上的時間為80秒。求火車的速度和長度。

解：120秒行駛的距離是橋長 車長

80秒行駛的距離是橋長-車長

所以80(1000 車長)=120（1000-車長）

車長=200米

火車的速度是10米/秒

48. 甲、乙二人按順時針方向沿圓形跑道練習跑步，已知甲跑一圈要12分，乙跑一圈要15分，如果他們分别從圓形跑道直徑的兩端同時出發，那麼出發後多少分甲追上乙？

解：(1/2)/(1/12-1/15)=(1/2)/(1/60)=30分鐘

49. 甲、乙比賽乒乓球，五局三勝。已知甲勝了第一局，并最終獲勝。問：各局的勝負情況有多少種可能？

解：甲 甲 甲

甲 甲 乙 甲

甲 甲 乙 乙 甲

甲 乙 甲 甲

甲 乙 甲 乙 甲

甲 乙 乙 甲 甲

經枚舉發現共有6種可能。

50. 甲、乙二人 2時共可加工 54個零件，甲加工 3時的零件比乙加工4時的零件還多4個。問：甲每時加工多少個零件？

解：甲乙二人一小時共可加工零件27個

設甲每小時加工x個，那麼乙每小時加工27-x個

根據條件得3x=4(27-x) 4

7x=112 x=16

答：甲每小時加工零件16個。

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